Задача без названия

Решение. Прямой газовый хвост кометы направлен на небе в сторону, противоположную Солнцу. Можно также сказать, что на небе хвост направлен в сторону противосолнечной точки. Но, как бы не были расположены друг относительно друга Солнце, Земля и комета, прямой тонкий хвост не может пройти за противосолнечную точку (мы не рассматриваем экзотический случай Земли внутри хвоста кометы, так как голова кометы не была бы видна в этом случае ночью).

Закрыть

Из рисунка мы видим, что каким длинным не был бы хвост, его угловой размер в небе земли γ не может быть больше 180°−β, где β − угловое расстояние ядра кометы от Солнца. Угловая длина хвоста приближается к этому максимуму, если комета располагается рядом с Землей. Коль скоро длина хвоста достигла 120°, можно сделать вывод, что голова кометы располагалась на небе не далее 60° от Солнца.

Тонкий газовый хвост будет виден в небе как дуга большого круга небесной сферы, содержащая голову кометы и противосолнечную точку (а значит, и само Солнце). Очевидно, что в течение всей ночи, когда Солнце располагается под горизонтом, противосолнечная точка находится выше горизонта. Поэтому для того, чтобы вся комета была видна, нам достаточно потребовать, чтобы над горизонтом находилось ее ядро, так как дуга большого круга длиной менее 180° будет целиком над горизонтом, если выше горизонта располагаются оба ее конца.

Коль скоро комета наблюдалась в течение всей ночи, вне навигационных сумерек, можно сделать два вывода: во-первых, сама ночь наступила, то есть Солнце опустилось под горизонт хотя бы на 12°, а во-вторых, Солнце в течение ночи не опустилось глубже 60° под горизонт, иначе голова кометы тоже обязательно бы зашла за горизонт. Итак, нижняя кульминация Солнца наступила на высоте h, лежащей в интервале от −60° до −12°.

В условии сказано, что комета наблюдалась перед Новым годом, то есть вскоре после зимнего солнцестояния. Будем считать, что склонение Солнца δ было равно −23°. Высота светила в нижней кульминации составляет

из чего следует

Нам необходимо рассмотреть два случая. В первом ("южном") случае мы получаем неравенство

из которого вытекает, что широта ϕ может принимать значения от −78°−δ=−55° до −30°−δ=−7°. Во втором ("северном") случае мы имеем

из чего получаем, что широта попадает в интервал от 30°−δ=+53° до 78°−δ=+101°. Значение широты ограничено величинами ±90°, поэтому северный интервал, где выполняется условие задачи, соответствует широтам от +53° до +90°.

Смысл полученных значений понятен: южнее широты −55° ночь (в указанном в условии смысле) не наступает, от широты −55° до широты −7° условие задачи может выполняться. Далее следует 60-градусный интервал от −7° до +53°, где Солнце опускается в полночь очень глубоко под горизонт. Серединой этого интервала является широта +23°, на которой нижняя кульминация Солнца происходит в надире. Севернее широты +53° комета в течение долгой северной (или даже непрерывной полярной) ночи может находиться над горизонтом. Итак, ответом на задачу являются два интервала широт: от −55° до −7° и от +53° до +90°.

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап – 4 балла: вывод о максимальном возможном удалении ядра кометы от Солнца и определении величины этого удаления. Участники олимпиады должны использовать тот факт, что тонкий прямой газовый хвост кометы направлен в пространстве и на небе противоположно Солнцу. Необходимо также обосновать, что для выполнения условия задания (комета целиком над горизонтом) достаточно лишь убедиться в том, что выше горизонта располагается ее ядро. Без этого обоснования в явном виде оценка уменьшается на 1 балл.

2 этап – 2 балла: формулировка условия видимости кометы, причем в течение всей ночи. Должна включать в себя два факта: наступление ночи и возможность кометы находиться над горизонтом все это время. Указание каждого из условий оценивается по 1 баллу. Этап может быть оценен в случае наличия этих формулировок даже при невыполненном первом этапе.

3 этап – 4 балла: нахождение интервалов широт с учетом указанных двух ограничений (2 балла за фактор наступления ночи и 2 балла за фактор высоты Солнца в нижней кульминации выше −60°). В случае некорректного опускания фактора модуля или рассмотрения нижней кульминации с использованием формулы, применимой только в одном полушарии, за этап выставляется не более 2 баллов, по 1 за учет каждого фактора.

Ошибки, сделанные на первом этапе решения, не влияют на оценку за последующие этапы, если эта ошибка не лишает указанные действия смысла. Включение или исключение граничных значений широт в интервалы в ответе на оценку не влияет.

Примеры неполного решения задачи:

• 1. участник не учитывает при решении тот факт, что ночь должна наступить, и получает в ответе интервалы широт от −90° до −7° и от +53° до +90°. Хотя в этом случае неверно указана только одна граница одного из интервалов, в решении полностью оценивается только первый этап в случае его выполнения, а также выставляется 1 балл за второй этап и 3 балла за третий этап. Общая оценка – не выше 7 баллов.
• 2. участник рассматривает оба ограничения, но использует формулу для высоты в нижней кульминации h = −90° + (ϕ + δ) без знака модуля. В итоге, он получает ответ ϕ > 53°, теряя интервал широт в южном полушарии. Третий этап оценивается не более 2 баллов, общая оценка – не выше 7 баллов, при условии точного выполнения первых двух этапов. Если при этом делается некорректный вывод о ситуации в южном полушарии (например, прямая аналогия ϕ <−53°), оценка уменьшается на 2 балла.
• 3. участник записывает только условие наступления ночи как единственное для наблюдения кометы, получая в итоге ограничение на широту ϕ > −55°. В этом случае первый этап не засчитывается полностью, за второй этап выставляется 1 балл, за третий этап – 2 балла. Максимальная оценка составляет 3 балла.

Пример альтернативного правильного решения: участник в явном или неявном виде предполагает, что комета находится точно к северу или точно к югу на небе от Солнца. Тогда, выполнив первый этап решения и предположив, что элонгация ядра кометы максимальна (60°), он может записать значения склонения ядра кометы и окончания хвоста (+37° и +23° в первом случае и −83° и +23° во втором случае). Далее записываются выражения для высот в верхней и нижней кульминации и рассмотрев все возможные случаи на момент солнечной полуночи, во время которой голова кометы окажется в нижней кульминации, а окончание хвоста – в верхней кульминации. В итоге, можно прийти к правильному ответу. Подобное решение, при условии его полноты и точности, считается правильным.