ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный11 класс2024Есть решение редакция rv_bdf573ffdf4049f1 ID p_75dde2cbbf6d9b7b
Предложить исправление

Планета обращается вокруг красного карлика класса М5 по круговой орбите. Осевое вращение планеты синхронизовано с ее орбитальным движением, ось вращения планеты перпендикулярна плоскости орбиты. У одного фермера на экваторе, где центральная звезда располагается в зените, есть прибор, состоящий из абсолютно черного шара с идеальной теплопроводностью и диаметром 2.5 метра, закопанного в землю наполовину, и градусника в шкале Цельсия, что измеряет температуру этого шара. Прибор нагревается от прямого излучения звезды и отдает тепловую энергию с подземной части шара в почву с мощностью 5.5 кВт, при этом показания градусника всегда одинаковы. Других источников нагрева шара, кроме излучения звезды, нет.

    1. Найдите показания градусника в шкале Цельсия.
    1. Определите расстояние между звездой и планетой, если эффективная температура звезды 2800 К, а радиус звезды составляет 0.20 радиусов Солнца.

Поглощением и рассеянием энергии излучения в атмосфере планеты пренебречь, расстояние приведите в астрономических единицах ( A . A . A в т а е в а ) (A.A.\ Aвтаева) .

Решение

Показать решение

Заметим, что в этой системе движение синхронное, а экватор лежит в плоскости орбиты, следовательно, планета всегда повернута к звезде одной стороной, и поток звездного излучения в каждой ее точке постоянный. Тепловая энергия, вырабатываемая прибором, определяется излучением абсолютно черного тела. Так как показания термометра не меняются, ситуация стационарна, и вся энергия, собранная прибором, то есть ровно половина излучаемой шаром энергии, уходит в почву. Используя закон Стефана-Больцмана, определяем температуру:

T = 4 2 P σ π d 2 = 315  K . T = 4\sqrt{\frac{2P}{\sigma\pi d^2}} = 315 \text{ K}.

Здесь P — мощность, отдаваемая в почву, σ \sigma — постоянная Стефана-Больцмана, d — диаметр шара. Переводя температуру в шкалу Цельсия, получаем + 42 ∘ +42^{\circ} C.

Определим теперь плотность потока излучения звезды. Уравнение теплового баланса для шара выглядит следующим образом:

σ T 4 ⋅ π d 2 = σ T 0 4 ⋅ 4 π R 0 2 4 π a 2 ⋅ π d 2 4 . \sigma T^4 \cdot \pi d^2 = \frac{\sigma T_0^4 \cdot 4\pi R_0^2}{4\pi a^2} \cdot \frac{\pi d^2}{4}.

Здесь R 0 R_0 и T 0 T_0 – радиус и температура звезды, a – расстояние от звезды до планеты. Упрощая это уравнение, получаем

T 4 = T 0 4 ⋅ R 0 2 4 a 2 . T^4 = \frac{T_0^4 \cdot R_0^2}{4a^2}.

Из этого мы получаем ответ:

a = R 0 2 ⋅ T 0 2 T 2 = 0.037  a.e. a = \frac{R_0}{2} \cdot \frac{T_0^2}{T^2} = 0.037 \text{ a.e.}