9.2 СЕМЕЙСТВО ХИЛЬДЫ

Автор: М.И. Волобуева

АстрономияКлассы неизвестны2023 Теоретическая Есть решение редакция rv_6c149d751c4e354c ID p_76060fccf1233bb6

Около орбиты Юпитера находится группа астероидов, образующих так называемое семейство Хильды. Эти астероиды примечательны тем, что в любой момент времени образуют правильный треугольник, вершины которого лежат вблизи орбиты Юпитера (см. рисунок). Этот треугольник поворачивается в пространстве синхронно с орбитальным движением Юпитера так, что Юпитер всегда равноудалён от двух ближайших к нему вершин. Определите большую полуось (с точностью лучше 1%) и эксцентриситет орбиты астероидов из семейства Хильды. Орбиту Юпитера считайте круговой, «толщиной линий» треугольника пренебрегите.

Решение

Показать решение

По рисунку может показаться, что астероиды двигаются вдоль сторон треугольника. Разумеется, этого не может быть, каждый астероид семейства Хильды движется по эллиптической орбите. Вращающийся треугольник – всего лишь иллюзия, вызванная синхронизацией орбитальных периодов Юпитера и астероидов. Такое явление называется орбитальным резонансом.

Вначале мы определим эксцентриситет орбиты астероидов. Так как «толщиной» треугольника мы по условию задания пренебрегаем, то наибольшее расстояние астероида от Солнца есть отрезок между центром и вершиной треугольника, а наименьшее – между центром и стороной. Как известно, центр равностороннего треугольника делит его медиану в соотношении 2:1. Отсюда:

e = (q - p) / (q + p) = 1/3.

Из условия следует, что расстояние между астероидами и Солнцем в афелии их орбит близко к радиусу орбиты Юпитера, то есть q0 = 5.203 а.е. Мы можем вначале предположить вначале, что точки афелия находятся прямо на орбите Юпитера. Тогда из свойств равностороннего треугольника находим их перигелийное расстояние в этом приближении: p0 = q0/2 = 2.602 а.е., большая полуось есть a0 = 3q0/4 = 3.902 а.е. Однако, это не является точным решением. Действительно, в этом случае орбитальный период астероидов (в годах) составил бы

T_0 = a_0^{3/2} = \left(\frac{3q_0}{4}\right)^{3/2} = q_0^{3/2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = T_J \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \approx T_J \cdot 0.65.

Отношение периодов обращения астероидов ( $T_0$ ) и Юпитера ( $T_J$ ) оказывается иррациональным числом. Мы же наблюдаем резонанс, при котором положения афелиев астероидов концентрируются к трем равноудаленным положениям вблизи орбиты Юпитера. Это может быть, если период обращения астероидов есть n/3 периодов обращения Юпитера, где n — целое число. Зная примерный период астероидов $T_0$ , мы делаем вывод, что n = 2. Тогда мы находим точную большую полуось орбит астероидов:

a = \left(\frac{2T_J}{3}\right)^{2/3} = T_J^{2/3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2/3} = q_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2/3} = 3.97 \ a.e.

Можно провести рассуждения и в обратном порядке: из условия резонанса мы знаем, что период обращения астероидов T есть $T_J \cdot n/3$ , отсюда мы находим большую полуось их орбиты:

a = \left(\frac{nT_J}{3}\right)^{2/3} = T_J^{2/3} \cdot \left(\frac{n}{3}\right)^{2/3} = q_0 \cdot \left(\frac{n}{3}\right)^{2/3}.

Зная эксцентриситет, мы находим афелийное расстояние астероидов:

q = a(1+e) = \frac{4a}{3} = \frac{4q_0}{3^{5/3}}n^{2/3} \approx 0.641q_0n^{2/3}.

При этом мы знаем, что величина q должна быть близка к $q_0$ , что приводит нас к n=2 и a=3.97 а.е..

Подборка

9.2 СЕМЕЙСТВО ХИЛЬДЫ

Решение