11.6 Концентрат для Волос

Автор: А.В.Веселова

Астрономия Региональный 11 класс 2026 Есть решение редакция rv_c8b3d41a47877dbc ID p_77fe3bfdd97402d6

Шаровое скопление состоит по количеству на 60% из звезд массы $0.8~\mathfrak{M}_{\odot}$ и на 40% из звезд массы $1~\mathfrak{M}_{\odot}$ , все звезды находятся на Главной последовательности. Закон распределения концентрации объектов от расстояния задается формулой

n(r) = \frac{n_0}{r^2} \,.

Известно, что полный радиус скопления составляет 12 пк, а число звезд в скоплении равно $10^5$ , в любой части скопления соотношение числа звезд двух типов одинаково.

А. Определите $n_0$ , считая единицей расстояния 1 парсек.
В. С какого максимального расстояния можно увидеть такое скопление невооруженным глазом, если наблюдается оно в созвездии Волос Вероники?
С. Представим, что наблюдение скопления на максимальном расстоянии, при котором оно доступно для наблюдений невооруженным глазом, проводится на телескопе с диаметром объектива D=15 см и фокусным расстоянием F=1.8 м. Сколько пикселей будет занимать изображение скопления в фокальной плоскости объектива телескопа, если в ней установлена ПЗС-матрица с пикселями размера 4 мкм $\times$ 4 мкм?

Решение

Показать решение

Решение.

А. Запишем выражение для полного количества звезд в скоплении:

N = \int_{0}^{R} 4\pi r^{2} \cdot n(r) dr = 4\pi \int_{0}^{R} \frac{n_{0}}{r^{2}} \cdot r^{2} dr = 4\pi n_{0} R.

Можно также заметить, что если рассмотреть сферические слои фиксированной толщины, то их объемы будут пропорциональны квадрату радиуса. Это означает, что в каждом таком слое количество звезд будет одним и тем же, откуда следует тот же результат (но формально полученный без использования интегрирования).

Отсюда находим $n_0$ :

n_0 = \frac{N}{4\pi R} = \frac{10^5}{4\pi \cdot 12 \,\text{mg}} = 6.6 \cdot 10^2 \,\text{mg}^{-1}.

В. Определим светимость скопления как целого, для этого оценим светимость каждой звезды. На главной последовательности светимость звезды связана с ее массой пропорциональностью

L \propto \mathfrak{M}^4 \text{. (1)}

Светимость звезды солнечной массы равна светимости Солнца, светимость звезды с массой $0.8~\mathfrak{M}_{\odot}$ составит $\approx 0.41~L_{\odot}$ . Тогда полная светимость составит

L = 10^5 \cdot (0.6 \cdot 0.41 + 0.4 \cdot 1) \approx 6.5 \cdot 10^4 L_{\odot}.

Определяем абсолютную болометрическую величину скопления:

M = M_{\odot} - 2.5 \lg \frac{L}{L_{\odot}} = 4.7 - 2.5 \lg (6.5 \cdot 10^4) = -7^m.3.

Далее определим, с какого расстояния скопление будет видно на пределе видимости невооруженным глазом:

m = M - 5 + 5 \lg r \Rightarrow r = 10^{0.2(m-M+5)} = 10^{0.2(6+7.3+5)} = 4.6 \cdot 10^3 \,\text{nk}.

Шаровое скопление оказывается расположенным в нашей Галактике, причем недалеко от Солнца по галактическим масштабам. При этом оно наблюдается в направлении, практически перпендикулярном диску Галактики, что означает, что межзвездное поглощение света сравнительно мало. Заметим также, что даже в плотных скоплениях звезды не перекрывают друг друга: расстояния между звездами много больше размеров самих звезд, поэтому мы имели право просто складывать светимости звезд друг с другом.

C. Определим угловой размер скопления с полученного в предыдущем пункте расстояния:

\alpha = \frac{D}{r} = \frac{2 \cdot 12}{4600} = 5.2 \cdot 10^{-3},

полученное значение выражено в радианах. Тогда диаметр изображения в фокальной плоскости составит

d = \alpha F = 5.2 \cdot 10^{-3} \cdot 1800 \text{ mm} = 9.4 \text{ mm}.

Площадь изображения составит S = πd² 4 ≈ 69 мм² . Площадь каждого пикселя ПЗС-матрицы равна S⁰ = (4 · 10⁻³ ) ² = 1.6 · 10⁻⁵ мм² , тогда количество занимаемых изображением пикселей составит S/S⁰ = 4.3 · 10⁶ . Получится весьма подробное изображение, при этом размер дифракционного кружка окажется примерно совпадающим с размером пикселя.

Критерии

Показать критерии

Критерии оценивания.

К1.	A Пункт	5
	Верное выражение (с интегралом или суммой) для оценки полного количества
	3 звезд
	n0 2 Верное вычисление
К2.	B Пункт	6
	0.8 M⊙, в зависимости (1) допускаются Определение светимости звезды с массой
	2 показатели степени от 3 до 4 включительно
	Если светимость звезды постулируется без объяснений, но значение верно,
	выставляется 1 балл.
	1 Определение верного значения полной светимости скопления
	Верное обоснованное определение расстояния до звезды, в том числе
	с возможной промежуточной оценкой абсолютной звездной величины,
	3 с пренебрежением поглощением
	3)m/кпк, (1 ÷ Если участник учитывает поглощение с коэффициентом
	выставляется 2 балла, поскольку направление в условии задачи
	свидетельствует о наблюдении перпендикулярно плоскости диска Галактики.
К3.	C Пункт	5
	Определение (явное или формульное) углового размера скопления исходя
	1 из полученного ранее значения расстояния
	Верная оценка размера изображения в фокальной плоскости (формула или
	явный расчет) 2
	1 Перевод значения в пиксели (формула или явный расчет)
	1 Получение верного ответа в пикселях
	Максимальная оценка:	16

Подборка

11.6 Концентрат для Волос

Решение

Решение.

Критерии

Критерии оценивания.