ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

6 СИНХРОЗАТМЕНИЕ

Автор: В.Б. Игнатьев / О.С. Угольников

Астрономия10 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_d98380cd464f869b ID p_7fd32a45d643e346
Предложить исправление

Как известно, Луна удаляется от Земли в среднем на 3.8 см в год. Из-за этого в какую-то эпоху в будущем может сложиться интересная ситуация: строго через каждый драконический год (период возвращения Солнца к одному определенному узлу лунной орбиты на небе) будет происходить центральное солнечное затмение, видимое на Земле в зените.

    1. Определите, когда такое впервые может случиться в будущем;
    1. Для этого момента найдите наибольшую фазу данного центрального затмения;
    1. Определите, сколько других солнечных затмений будет наблюдаться в течение драконического года между этими центральными затмениями, и какие у них будут наибольшие фазы.

Орбиты Земли и Луны считать круговыми, удаление Луны от Земли – равномерным, наклон ее орбиты к эклиптике, расстояние Земли от Солнца, а также радиусы Солнца, Земли и Луны – постоянными. Угловая скорость движения узлов лунной орбиты равна ω N = − C ⋅ Ω 2 / ω \omega_{\rm N} = -C \cdot \Omega^2/\omega , где Ω \Omega и ω \omega – угловые скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли соответственно, а C – постоянная величина.

Решение

Показать решение

Для начала определим численное значение константы C из выражения, заданного в условии задачи. Учтем при этом, что период некоторого вращения равен 2 π 2\pi , деленное на модуль угловой скорости этого вращения. Знак минус в выражении в условии говорит о том, что узлы лунной орбиты двигаются с востока на запад, навстречу движению Луны и Солнца на небе. Константа C положительна и равна:

C = | ω N ω Ω 2 | = T 2 t N0 t 0 = 0.718. C = \left| \frac{\omega_{\text{N}} \omega}{\Omega^2} \right| = \frac{T^2}{t_{\text{N0}} t_0} = 0.718.

Здесь мы воспользовались современными значениями периода вращения Луны вокруг Земли t 0 t_0 (0.0748 года) и периода вращения лунных узлов t N 0 t_{\rm N0} (18.6 лет). T — период обращения Земли вокруг Солнца. Определим длительности драконического года (периода между прохождениями Солнца одного узла орбиты) и драконического месяца (периода между прохождениями Луны одного узла орбиты) в настоящий момент, учитывая встречное движение лунных узлов и отрицательное значение ω N \omega_{\rm N} :

Y D 0 & = 2 π Ω − ω N = 1 ( 1 / T ) + ( 1 / t N 0 ) = 0.949 г о д a = 346.6 с y r ; \ M D 0 & = 2 π ω − ω N = 1 ( 1 / t 0 ) + ( 1 / t N 0 ) = 0.0745 г о д a = 27.21 c y r . \begin{split} Y_{\mathrm{D0}} &= \frac{2\pi}{\Omega - \omega_{\mathrm{N}}} = \frac{1}{(1/T) + (1/t_{\mathrm{N0}})} = 0.949 \; \mathrm{годa} = 346.6 \; \mathrm{сyr} \, ; \\ M_{\mathrm{D0}} &= \frac{2\pi}{\omega - \omega_{\mathrm{N}}} = \frac{1}{(1/t_{\mathrm{0}}) + (1/t_{\mathrm{N0}})} = 0.0745 \; \mathrm{годa} = 27.21 \; \mathrm{cyr} \, . \end{split}

В настоящий момент драконический год содержит в себе около 12.7 драконических месяцев. Это число не целое, поэтому если в какой-то момент у нас происходит центральное солнечное затмение в зените, то через драконический год Луна не оказывается в этом узле и рядом с Солнцем на небе. До ближайшего новолуния проходит еще около 10 дней, за это время Солнце и узел орбиты смещаются, и условия наступления затмения становятся иными.

С течением времени Луна удаляется от Земли, ее угловая скорость ω \omega уменьшается, а скорость движения узлов (по модулю) ω N \omega_N немного увеличивается. Продолжительность

драконического месяца будет расти, а продолжительность драконического года — медленно убывать. В итоге, ближайшая «синхронная» ситуация может возникнуть в момент, когда драконический год Y D Y_{\rm D} будет содержать в себе ровно N=12 драконических месяцев M D M_{\rm D} . Запишем соответствующее уравнение:

Y D = 2 π Ω − ω N = N ⋅ 2 π ω − ω N ; Y_{\rm D} = \frac{2\pi}{\Omega - \omega_{\rm N}} = N \cdot \frac{2\pi}{\omega - \omega_{\rm N}};
ω − ω N = N ⋅ ( Ω − ω N ) . \omega - \omega_{\rm N} = N \cdot (\Omega - \omega_{\rm N}).

Подставим сюда выражение для угловой скорости вращения узлов:

ω + C ⋅ Ω 2 ω = N ⋅ ( Ω + C ⋅ Ω 2 ω ) . \omega + \frac{C \cdot \Omega^2}{\omega} = N \cdot (\Omega + \frac{C \cdot \Omega^2}{\omega}).

Преобразуем это в квадратное уравнение для ω:

ω 2 − N Ω ω − C ( N − 1 ) ⋅ Ω 2 = 0. \omega^2 - N\Omega\omega - C(N-1)\cdot\Omega^2 = 0.

Мы знаем, что величина ω положительна – Луна не будет менять направление вращения вокруг Земли. Поэтому мы выбираем единственный положительный корень уравнения:

ω = N Ω + N 2 Ω 2 + 4 C ( N − 1 ) Ω 2 2 = Ω ⋅ N + N 2 + 4 C ( N − 1 ) 2 = Ω ⋅ 12.625. \omega = \frac{N\Omega + \sqrt{N^2\Omega^2 + 4C(N-1)\Omega^2}}{2} = \Omega \cdot \frac{N + \sqrt{N^2 + 4C(N-1)}}{2} = \Omega \cdot 12.625.

Период обращения Луны вокруг Земли будет равен 1/12.625 года или 28.93 суток. Определим расстояние от Земли до Луны в это время по III закону Кеплера:

L L 0 = ( ω ω 0 ) − 2 / 3 = 1.039. \frac{L}{L_0} = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{-2/3} = 1.039.

Расстояние окажется равным 399360 км. Если мы наблюдаем Луну в зените, то оказываемся ближе к ней на радиус Земли, то есть на расстоянии 392990 км. Угловой диаметр Луны с такого расстояния будет равен δ L = 30.41 ′ \delta_L = 30.41' . Угловой диаметр Солнца с расстояния в 1 а.е. равен δ S = 31.94 ′ \delta_S = 31.94' . В итоге, затмение в зените будет кольцеобразным, и его фазу можно определить просто как отношение диаметров: Φ = 0.952 \Phi = 0.952 . Отметим, что с учетом реальной эллиптичности орбиты Луны такие затмения могут происходить и в настоящее время.

Определим, когда такая ситуация случится. Расстояние до Луны к этому времени должно увеличиться на 0.039 ⋅ L 0 ≈ 15 0.039 \cdot L_0 \approx 15 тысяч км. При удалении на 3.8 см в год искомый интервал времени есть ( 1.5 ⋅ 10 7 / 3.8 ⋅ 10 − 2 ) ≈ 400 (1.5 \cdot 10^7/3.8 \cdot 10^{-2}) \approx 400 млн лет.

Нам остается рассмотреть другие затмения в ходе драконического года. По аналогии с современной эпохой, может показаться, что через половину драконического года может произойти еще одно похожее затмение. Но обратим внимание, что половина драконического года в ту будущую эпоху будет содержать ровно 6 драконических месяцев. В итоге, Луна окажется у того же самого узла орбиты, где она была во время центрального кольцеобразного затмения. Солнце же в это время окажется у противоположного узла. В этот момент затмение действительно произойдет, но оно будет полным лунным. Нас же по условию задачи интересуют солнечные затмения.

Можно показать, что драконический год, равный 12 драконическим месяцам, будет содержать ровно 11 синодических периодов Луны. Новолуния, при которых будут возможны затмения, произойдут через 5 и 6 синодических периодов Луны после центрального кольцеобразного затмения. Они произойдут на угловом расстоянии от узла орбиты:

λ = 360 ∘ 2 ⋅ 11 = 16.36 ∘ . \lambda = \frac{360^{\circ}}{2 \cdot 11} = 16.36^{\circ}.

Учитывая малость угла наклона орбиты Луны, геоцентрическое угловое расстояние Луны от эклиптики во время этих новолуний есть

β = i ⋅ sin λ = 1.45 ∘ . \beta = i \cdot \sin \lambda = 1.45^{\circ}.

Переводя эту величину в угловые минуты, получаем 87.0'. Понять, будет ли при этом происходить солнечное затмение, можно несколькими способами. Один из них, самый простой, состоит в вычислении суточного параллакса Луны, который равен R/L=0.0160=54.8'. Даже при самых благоприятных обстоятельствах, когда параллактическое смещение приблизит на небе Луну к Солнцу, между их центрами угловое расстояние составит 32.2'. Эта величина больше суммы видимых радиусов Солнца (16.0') и Луны у горизонта (15.0'). Таким образом, солнечных затмений у противоположного узла орбиты Луны вообще не будет!

К этому же выводу можно прийти более стандартным, хотя и сложным способом. Пространственное расстояние центра Луны от плоскости эклиптики есть

h = L sin β = 10110  км . h = L \sin \beta = 10110 \text{ км}.

Рассмотрим предельную ситуацию, при которой наступает частное солнечное затмение. Максимальное расстояние Луны от плоскости эклиптики есть:

h L = R + r + α ⋅ L = R + r + R S − R S ⋅ L = R S L + R ( S − L ) + r S S = 9950  km . h_{\rm L} = R + r + \alpha \cdot L = R + r + \frac{R_{\rm S} - R}{S} \cdot L = \frac{R_{\rm S} L + R(S - L) + rS}{S} = 9950 \text{ km}.

Здесь S – расстояние от Земли до Солнца, R S R_{\rm S} , R и r – радиусы Солнца, Земли и Луны. Итак, в 5-м и 6-м новолунии расстояние Луны от плоскости эклиптики будет больше предельного, и солнечных затмений у противоположного узла орбиты не будет, случится только лунное. О других новолуниях, на еще большем расстоянии от узла, говорить и смысла нет. Итак, при такой ситуации на Земле будут происходить только кольцеобразные затмения раз в драконический год (около 345 с половиной суток).