ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.2 ГЛАЗ ЗОМБИ

АстрономияКлассы неизвестны2021ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ddc7d03afbb19e9a ID p_804f860cc45bb6c6
Предложить исправление

На Земле появился человек с исключительно острым зрением. Чтобы заметить звезду на небе, ему достаточно зафиксировать каждым глазом в среднем по одному фотону от звезды за такт фиксации изображения (0.04 секунды). Диаметр зрачка глаза при этом равен 8 мм, спектральные свойства зрения такие же, как у обычного человека. Какой будет проницающая способность зрения такого человека в звездных величинах? Условия для наблюдений идеальные, атмосферные эффекты не учитывать.

Решение

Показать решение

Пусть λ \lambda — длина волны наилучшей видимости человеческого зрения, которую будем считать равной 5500 ангстрем. Энергия кванта с такой длиной волны есть

E = h v = h c / λ = 3.6 ⋅ 10 − 19 Дж . tag 1 E = hv = hc/\lambda = 3.6 \cdot 10^{-19} \,\text{Дж}. \tag{1}

Определим плотность потока энергии от звезды, при котором в зрачок заданного диаметра d за заданное время t будет попадать такая энергия:

J = 4 E π d 2 t = 4 h c π d 2 λ t = 1.8 ⋅ 10 − 13  BT/M 2 . tag 2 J = \frac{4E}{\pi d^2 t} = \frac{4hc}{\pi d^2 \lambda t} = 1.8 \cdot 10^{-13} \text{ BT/M}^2. \tag{2}

Нужно отметить, что эта величина характеризует не полное количество энергии, идущее от звезды, а только энергию в оптическом диапазоне спектра, других фотонов глаз не замечает. Поэтому при пересчете в звездные величины на основе сравнения с известным источником необходимо оперировать с плотностью потока энергии в видимом диапазоне. Для Солнца это величина J 0 J_0 =600 BT/м². Зная визуальную звездную величину Солнца m 0 m_0 , находим проницающую способность "глаза Зомби":

m = m 0 − 2.5 lg ( J / J 0 ) = 12 . tag 3 m = m_0 - 2.5 \lg(J/J_0) = 12. \tag{3}

Система оценивания, максимум -10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап — 3 балла: определение энергии одного кванта в видимой области спектра. Этап может выполняться численно или включаться в аналитическом виде в последующие формулы. Участник олимпиады может взять несколько иное значение длины волны, засчитывается любое значение от 3500 до 7000 А, что дает эффект не более 0.5 m 0.5^{\rm m} в итоговом ответе без влияния на оценку. При появлении лишних численных коэффициентов ( 2 π 2\pi , 1 / 2 π 1/2\pi и т.д.) и при арифметической ошибке в 2 раза и более оценка снижается на 1 балл, при ошибке в 4 раза и более оценка уменьшается на 2 балла без влияния на последующие этапы.

2 этап – 3 балла: определение плотности потока энергии от предельно заметной звезды. При ошибке в формуле (в частности, если диаметр зрачка путается с его радиусом) оценка уменьшается на 2 балла без влияния на последующие этапы. Аналогично предыдущему этапу, при арифметической ошибке в 2 раза и более оценка снижается на 1 балл, при ошибке на порядок и более оценка уменьшается на 2 балла без влияния на последующие этапы.

3 этап – 4 балла: определение предельной звездной величины. Требуемая точность – 1 m 1^m без учета ошибок на предыдущих этапах. Если в качестве источника сравнения берется Солнце с болометрической величиной плотности потока энергии – это увеличивает проницающую способность примерно на 1 m 1^m (до 13 m 13^m при верных расчетах), это считается физической ошибкой, оценка уменьшается на 2 балла.