Задача без названия

Решение. Шаровое скопление состоит из 500 000 звезд, каждая из которых светит втрое слабее Солнца. Отсюда мы можем определить абсолютную звездную величину скопления:

Здесь M0 – абсолютная звездная величина Солнца. Нам известна видимая звездная величина скопления в небе mC, при этом мы пренебрегаем межзвездным поглощением света. Тогда мы можем найти расстояние до скопления L:

Зная угловой диаметр скопления в небе δ и выражая его в радианах, мы определяем радиус скопления R = Lδ/2 = 30 пк. При пролете сквозь диск Галактики скопление вырежет в нем фигуру, по объему равную цилиндру с радиусом R и высотой H/sin α ≈ 900 пк (см. рисунок):

Закрыть

Объем части диска, который попадет внутрь скопления за время его пролета, равен V=πR² H/sinα=2.5·106 пк3 . Нам нужно определить, сколько звезд солнечного типа попадет в эту область. Для этого определим характерное расстояние между звездами в диске как расстояние между Солнцем и α Центавра:

Мы получили несколько заниженную оценку расстояния до $\alpha$ Центавра, предположив, что ее абсолютная звездная величина совпадает с солнечной. Можно использовать и реальное расстояние до этой звезды (1.3 пк). Считая, что одна звезда содержится в диске в объеме $d^3$ , оценим, сколько звезд попадет в скопление:

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап – 2 балла: определение расстояния до скопления. Может выполняться через вычисление абсолютной звездной величины скопления, как сделано выше либо через вычисление видимой звездной величины одной звезды скопления в небе Земли. Этап предполагает применение формулы Погсона и связи расстояния, видимой и абсолютной звездной величины. Участник может пытаться учесть покраснение звезд скопления малой массы, что незначительно сказывается на их визуальной звездной величине. Требуемая точность – 1000 пк, при ошибке до 2000 пк оценка уменьшается на 1 балл. Если полученное расстояние не является абсурдным (попадает в интервал от 1000 до 30000 пк) – ошибка не влияет на оценивание последующих этапов, иначе они оцениваются только наполовину.

Вероятная ошибка: опускание фактора 1/3, связанного с низкой светимостью звезд скопления, с итоговой ошибкой порядка 1.7 раз. Оценка за этап не превышает 1 балл (0 баллов, если делаются иные ошибки).

2 этап — 2 балла: Определение радиуса (либо диаметра) скопления. Требуемая точность — 5 пк (для диаметра — 10 пк). Может выполняться численно либо в аналитическом виде для подстановки в формулы для последующих этапов.

3 этап – 2 балла: определение объема фигуры, которую вычертит скопление при пролете сквозь диск Галактики. Также может выполняться численно либо аналитически, при численном методе требуемая точность достаточна на уровне 30% ( $\sim 10^6$ пк³).

Вероятная ошибка: опускание эффекта $\sin \alpha$ — наклона пути скопления к галактическому диску, что приводит к трехкратному занижению объема. В этом случае весь третий этап не засчитывается, но последующие оцениваются в полной мере.

4 этап — 2 балла: определение расстояния до ближайшей звезды солнечного типа. Требуемая точность — 0.3 пк. Участники могут считать звезду $\alpha$ Центавра аналогом Солнца, могут использовать свои знания об ее характеристиках или даже использовать ее фактическое расстояние, что также считается правильным.

5 этап — 2 балла: оценка количества звезд, которые попадут внутрь скопления. Ввиду резкой зависимости от расстояния между звездами d, итог может быть определен с точностью до фактора 2.

Ошибки на каждом этапе не влияют на последующие этапы, если полученные значения не оказываются заведомо нехарактерными для шаровых скоплений или множества звезд в диске Гапактики