КОМЕТА СО СВИТОЙ

• 6. Решение. Изобразим орбиты кометы и Земли вблизи точки их пересечения в плоскости, перпендикулярной радиусу-вектору (направлению на Солнце). Мы считаем орбиты пересекающимися, так как по условию задачи наблюдался острый максимум метеорного потока, порожденного компактным роем частиц. Обозначим скорость кометы и метеорных частиц в точке встречи как v, скорость Земли как v0. Их векторная разность – геоцентрическая скорость кометы u или, то же самое, скорость метеоров – перпендикулярна плоскости эклиптики, то есть лежит в плоскости рисунка. Следовательно, скорость v также расположена в этой плоскости.

Закрыть

Определим минимальное расстояние между Землей и кометой. Для этого перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с Землей. В ней комета движется со скоростью u перпендикулярно плоскости эклиптики (горизонтальной линии на рисунке), на которой находится Земля. Очевидно, максимальное сближение произойдет в тот момент, когда комета пересечет плоскость эклиптики. То есть, в момент времени t0, 12 сентября 2018 года комета (если принять упрощения, сделанные в условии задачи) оказывается на минимальном расстоянии от Земли, причем в той же точке пространства, что где Земля окажется 9 октября (этот момент обозначим как t1). Так как эти моменты разделяет меньше месяца, мы можем считать движение Земли равномерным. Отсюда получаем минимальное расстояние между Землей и кометой:

Теперь мы знаем, что точка пересечения орбит совпадает с точкой перигелия орбиты кометы, поэтому скорость кометы v в точке встречи есть перигелийная скорость кометы. Ее величина составляет

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами трех скоростей, определяем величину наклона орбиты кометы к плоскости эклиптики:

Выходя за рамки решения данной задачи, отметим, что на самом деле радиант потока Драконид удален от полюса эклиптики более, чем на 10°. Если это учесть, то полученные характеристики орбиты кометы несколько изменятся: ее наклон орбиты составляет 32°, а минимальное расстояние от Земли в сентябре 2018 года было около 0.39 а.е.

6. Система оценивания.

Этап 1 – 4 балла. Определение минимального расстояния между Землей и кометой.

Решение может вестись в упрощенном виде, как описано выше. Участник может также не считать движение Земли прямолинейным, и вместо длины дуги определить длину хорды, что практически не скажется на ответе. При определении расстояния участники могут оставаться в гелиоцентрической системе отсчета, что несколько усложняет решение, но приводит к тому же результату. Требуемая точность ответа – 5% (полный балл), 10% (2 балла за этап). При больших ошибках (в частности, если они вызваны попыткой осуществить более сложное трехмерное решение и учитывать изменение скорости кометы со временем) этап не засчитывается.

Возможная ошибка участника: положение кометы 12 сентября не совпадает с точкой узла ее орбиты (к этому случаю не относится различие этих точек менее, чем на 0.02 а.е., вызванное попыткой учесть кривизну траекторий обоих тел). Данный ошибочный вывод может не быть сформулирован напрямую, но следовать из решений, что также попадает под эту категорию ошибок. В этом случае весь этап не засчитывается (0 баллов), вне зависимости от численного ответа. Второй этап при этом может быть засчитан (см. далее).

Этап 2 – 4 балла. Наклонение орбиты кометы.

Половина данных баллов (2) выставляется за правильное численное или формульное определение скорости кометы, другая половина — за определение угла наклона. При ошибочном выполнении одного из этих подэтапов второй может быть оценен полностью в случае верного выполнения (хотя при этом второй этап после ошибки на первом может дать неверный ответ).

В случае ошибки на первом этапе, связанной с различием точки перигелия кометы и точки ее пересечения с орбитой Земли (см. выше), второй этап, вообще говоря, требует обоснования равенства скорости кометы (и метеоров) при пересечении орбиты Земли и в перигелии. Если этот факт каким-либо образом обосновывается (комета вблизи перигелия), то второй этап в случае верного выполнения засчитывается полностью. Если скорости приравниваются без обоснований - оценка снижается на 1 балл (максимум 3 балла за этап).

Вероятная ошибка участника: наклон орбиты кометы равен 90° или каким-то образом определяется углом между экватором и эклиптикой (ответы 23.4°, 66.6° и т.д.). К этому же случаю относятся варианты, при которых ответ зависит от угла наклона экватора к эклиптике, то есть меняется, если придать этому углу иное значение. В этих случаях этап полностью не засчитывается (0 баллов).