ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2015ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_e5708237b551cea6 ID p_859b9ca307d1b0dd
Предложить исправление

Два искусственных спутника Земли при наблюдении из определенной точки экватора нашей планеты всегда одновременно восходят, проходят через зенит и заходят за горизонт. Орбиты спутников круговые, расположены в экваториальной плоскости, спутники движутся по ним вокруг Земли в одном направлении. При этом радиусы орбит отличаются ровно вдвое. Найдите эти радиусы орбит. Суточным параллаксом спутников пренебречь.

Решение

Показать решение

Спутники обращаются вокруг Земли в той же плоскости, что и сам наблюдатель за счет осевого вращения Земли. Одновременный восход, кульминация в зените и заход спутников в пренебрежении параллаксом означает равенство их синодических периодов S. Для этих периодов справедливо соотношение:

1 S 1 , 2 = | 1 T 0 ± 1 T 1 , 2 | ; | 1 T 0 ± 1 T 1 | = | 1 T 0 ± 1 T 2 | . \frac{1}{S_{1,2}} = \left| \frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_{1,2}} \right|; \quad \left| \frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_1} \right| = \left| \frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_2} \right|.

Здесь T1,2 – орбитальные периоды спутников, T0 – период осевого вращения Земли (23.934 часа). Знак "+" соответствует встречному вращению спутника по отношению к вращению Земли, знак "–" будет иметь место в случае одного направления вращения Земли и спутника. Коль скоро известно, что спутники движутся вокруг Земли в одном направлении, эти знаки для них должны быть одинаковы. В случае знака "+" выражения под модулем положительны, и равенство выполняется только для одинаковых орбит (T1=T2), что противоречит условию задачи. Итак, мы должны рассмотреть случай со знаками "–":

| 1 T 0 − 1 T 1 | = | 1 T 0 − 1 T 2 | \left| \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_1} \right| = \left| \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2} \right|

Мы вновь не рассматриваем тривиальный случай T1=T2. Пусть T2>T1, тогда (1/T1)>(1/T2). Равенство может быть выполнено, если выражение под модулем в левой части будет отрицательным, в правой части – положительным, то есть:

1 T 1 − 1 T 0 = 1 T 0 − 1 T 2 . \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2}.

Это выражение можно переписать как

T 1 T 0 T 0 − T 1 = T 2 T 0 T 2 − T 0 . \frac{T_1 T_0}{T_0 - T_1} = \frac{T_2 T_0}{T_2 - T_0}.

Отсюда

T 1 ( T 2 − T 0 ) = T 2 ( T 0 − T 1 ) . T_1(T_2 - T_0) = T_2(T_0 - T_1).

Вспомним, что T2>T1, а радиусы орбит спутников отличаются в 2 раза. По III закону Кеплера

T 2 T 1 = K = 2 3 / 2 . \frac{T_2}{T_1} = K = 2^{3/2}.

Подставляя это в соотношение периодов, имеем:

K T 1 2 − T 1 T 0 = K T 1 T 0 − K T 1 2 KT_1^2 - T_1T_0 = KT_1T_0 - KT_1^2

Решая это уравнение, получаем:

T 1 = ( K + 1 ) T 0 2 K ; T 2 = K T 1 = ( K + 1 ) T 0 2 . T_1 = \frac{(K+1)T_0}{2K}; \quad T_2 = KT_1 = \frac{(K+1)T_0}{2}.

Численные значения периодов равны 16.20 и 45.82 часа. Радиусы орбит спутни-

R 1 , 2 = ( G M T 1 , 2 2 4 π 2 ) 1 / 3 . R_{1,2} = \left(\frac{GMT_{1,2}^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.

Здесь M – масса Земли. Радиусы орбит равны 32.4 и 64.8 тысячи километров.