Задача без названия

Астрономия ЗаключительныйКлассы неизвестны2009 Теоретическая Есть решение редакция rv_c785d0fe1e255ec9 ID p_883f5add032a3479

Предложить исправление

? Три звезды с равной массой обращаются вокруг общего центра тяжести по одинаковой круговой траектории, находясь в вершинах равностороннего треугольника. В один момент одна из звезд взрывается как сверхновая, и ее масса без остатка быстро покидает систему. Найдите эксцентриситет новых орбит оставшихся двух звезд.

Решение

Показать решение

Обозначим расстояние между звездами попарно (сторону равностороннего треугольника) как R, а массу каждой звезды как M. Рассмотрим движение каждой звезды. По свойствам равностороннего треугольника, радиус орбит звезд составляет

L = \frac{R}{\sqrt{3}}.

Центростремительное ускорение каждой звезде придает равнодействующая сил притяжения двух других звезд:

M \cdot a = \frac{2GM^2 \cos 30^{\circ}}{R^2}; \quad a = \frac{\sqrt{3}GM}{R^2}.

Скорость движения каждой из звезд составляет

v_0 = \sqrt{a \cdot L} = \sqrt{\frac{GM}{R}}.

После взрыва одной из звезд две остальные продолжают двигаться со скоростями $v_0$ , как показано на рисунке. Компонента этой скорости, направленная вдоль прямой, соединяющей звезды, u, одинакова для обеих звезд и является скоростью центра масс системы, образованной двумя звездами; она в дальнейшем не изменяется. А вот перпендикулярная компонента v у двух звезд совпадает по модулю, но противо-

положна по направлению. Она становится орбитальной скоростью звезд. Ее величина составляет

v = v_0 \cos 30^\circ = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}.

Орбитальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору, следовательно, положения звезд сразу после взрыва соответствуют либо перицентрам, либо апоцентрам новых орбит. Пусть через половину орбитального периода, в апоцентре или перицентре соответственно, расстояние между звездами будет равно D, а скорости каждой будут равны $v_1$ . Запишем законы сохранения момента импульса и энергии:

сохранения момента импульса и энергии:

2 \cdot \frac{v \cdot R}{2} = 2 \cdot \frac{v_1 \cdot D}{2}; \quad 2 \cdot \frac{M \cdot v^2}{2} - \frac{GM^2}{R} = 2 \cdot \frac{M \cdot v_1^2}{2} - \frac{GM^2}{D}.

Делая подстановки

v_1 = \frac{v \cdot R}{D}; \quad \frac{GM}{R} = \frac{4v^2}{3},

получаем уравнение

v^2 - \frac{4v^2}{3} = v^2 \frac{R^2}{D^2} - \frac{4v^2}{3} \frac{R}{D}

и далее:

3(R/D)^2 - 4(R/D) + 1 = 0

Это уравнение имеет два корня, соответствующие двум точкам на орбитах звезд. Первое решение (D=R) связано с положением звезд сразу после взрыва, а второе (D=3R) — через половину нового орбитального периода. Мы видим, что сразу после взрыва звезды оказываются в перицентрах своих новых орбит, а в апоцентрах они будут втрое дальше друг от друга. Эксцентриситет новых орбит составит

e = (D - R)/(D + R) = 0.5.

Подборка

Задача без названия

Решение