ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.4 ТАИНСТВЕННЫЙ МИР

Автор: А.А. Автаева

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ba22fef08cebd1bc ID p_8cfe4142c3f8b704
Предложить исправление

Экспедиция прибыла на планету, обращающуюся вокруг далекой звезды, и приступила к исследованиям. Оказалось, что в месте базирования экспедиции местная звезда каждый день проходила через зенит, но климат существенно менялся в течение года. Участники экспедиции заметили, что ночью комфортные условия (T=+20°C) в палатке без обогрева в теплый сезон достигались при длительном нахождении там одного человека, а в холодный сезон для этого требовалось присутствие сразу трех человек. При этом «солнечные» сутки в теплый сезон были на 0.2% длиннее, чем в холодный, а местный год состоял из 100 местных «солнечных» суток. Перепад температур между ночью и днем был постоянен в течение года и составлял 20°. Атмосфера была вполне пригодной для дыхания, при этом была очень сухой и не обладала парниковыми свойствами, поверхность состояла в основном из очень темных пород, имеющих малую теплопроводность. Спектральный состав излучения звезды и ее физические свойства были аналогичны солнечным. Определите период осевого врашения планеты и эксцентриситет ее орбиты.

Решение

Показать решение

Коль скоро звезда в течение всего года ежедневно проходила через зенит в данной точке планеты, мы можем сделать вывод, что плоскость экватора планеты совпадала с плоскостью ее орбиты, и экспедиция работала как раз на экваторе. Сезонные изменения климата в этом случае могли быть вызваны эксцентриситетом орбиты планеты.

Обратим внимание на тот факт, что длительность солнечных суток (промежуток времени между двумя последовательными кульминациями центральной звезды) на планете изменялась в течение года. На Земле этот эффект тоже наблюдается, у нас он вызван двумя факторами: эллиптичностью орбиты и наклоном экватора к ее плоскости. На далекой планете второго эффекта нет, и изменение длительности солнечных суток определяется только эллиптичностью орбиты.

Солнечные сутки на Земле чуть длиннее периода оборота Земли вокруг своей оси, так как за эти сутки Земля успевает сделать часть оборота вокруг Солнца, причем в том же направлении. В результате, Земле нужно повернуться вокруг своей оси на тот же угол, что она прошла в своем движении по орбите. Если орбита планеты отлична от круговой, и она вращается вокруг звезда в том же направлении, что и вокруг своей оси, то в соответствии со II законом Кеплера этот угол будет чуть больше в перицентре и меньше в апоцентре. Именно такая ситуация реализуется на планете – в теплый период «солнечные» сутки – будем их так называть – длиннее, чем в холодный период.

Всего в году насчитывается 100 суток, и за это время планета успевает сделать 101 оборот вокруг своей оси. Средняя продолжительность солнечных суток S 0 S_0 есть 1.01t, где t – период осевого вращения планеты. Средняя угловая скорость орбитального вращения планеты равна

ω 0 = 2 π τ = G M a 3 . \omega_0 = \frac{2\pi}{\tau} = \sqrt{\frac{GM}{a^3}}.

Здесь т – орбитальный период планеты. Обозначив эксцентриситет орбиты как е, сравним длительность солнечных суток в перицентре и апоцентре орбиты. В эти моменты линейная скорость планеты перпендикулярна радиусу-вектору, а расстояние до нее составляет a ⋅ ( 1 − e ) a \cdot (1 - e) и a ⋅ ( 1 + e ) a \cdot (1 + e) соответственно. Для угловых скоростей движения планеты в перицентре и апоцентре имеем

ω P , A = G M a 3 ⋅ ( 1 ± e ) ( 1 ∓ e ) 3 = ω 0 ⋅ ( 1 ± e ) ( 1 ∓ e ) 3 \omega_{P,A} = \sqrt{\frac{GM}{a^3} \cdot \frac{(1 \pm e)}{(1 \mp e)^3}} = \omega_0 \cdot \sqrt{\frac{(1 \pm e)}{(1 \mp e)^3}}

Солнечные сутки на планете есть звездные сутки t и малая добавка, связанная с видимым смещением звезды за счет орбитального движения планеты. Длительность солнечных суток S с хорошей степенью точности можно представить в виде

S = t + C ⋅ ω . S = t + C \cdot \omega.

Для средней длительности солнечных суток имеем:

S 0 = t + C ⋅ ω 0 = 1.01 ⋅ t ; C = 0.01 ⋅ t / ω 0. S_0 = t + C \cdot \omega_0 = 1.01 \cdot t; \quad C = 0.01 \cdot t / \omega_0.

Длительность солнечных суток в перицентре и апоцентре:

S P , A = t + C ω 0 ⋅ ( 1 ± e ) ( 1 ∓ e ) 3 = t + 0.01 t ⋅ ( 1 ± e ) ( 1 ∓ e ) 3 . S_{P,A} = t + C\omega_0 \cdot \sqrt{\frac{(1 \pm e)}{(1 \mp e)^3}} = t + 0.01t \cdot \sqrt{\frac{(1 \pm e)}{(1 \mp e)^3}}.

Их соотношение есть

S P S A = t + 0.01 t ⋅ ( 1 + e ) ( 1 − e ) 3 t + 0.01 t ⋅ ( 1 − e ) ( 1 + e ) 3 ≈ 1 + 0.01 1.01 ⋅ 4 e = 1.002 , \frac{S_P}{S_A} = \frac{t + 0.01t \cdot \sqrt{\frac{(1+e)}{(1-e)^3}}}{t + 0.01t \cdot \sqrt{\frac{(1-e)}{(1+e)^3}}} \approx 1 + \frac{0.01}{1.01} \cdot 4e = 1.002,

Отсюда получаем e=0.05, мы ответили на один из вопросов задания. Рассмотрим теперь тепловые условия на поверхности планеты. Как мы уже поняли, путешественники находились на ее экваторе. Нулевой наклон экватора к плоскости орбиты, сухость атмосферы и низкая теплопроводность грунта указывают на очень резкие перепады температур между экватором и полюсами. Поэтому относительно комфортные тепловые условия, с которыми столкнулись путешественники, не могут относиться ко всей планете в целом. Мы не будем рассматривать усредненный тепловой баланс планеты, а возьмем тонкое экваториальное кольцо на ее поверхности с малой шириной h. Приравняем количество приходящей и исходящей от этого кольца энергии:

J 0 4 π L 2 ⋅ 2 R h = 2 π R h ⋅ σ T 4 ; T 4 = J 0 4 π 2 σ L 2 . \frac{J_0}{4\pi L^2} \cdot 2Rh = 2\pi Rh \cdot \sigma T^4; \quad T^4 = \frac{J_0}{4\pi^2 \sigma L^2}.

Здесь мы должны дать два комментария. Первое – мы не учитываем альбедо планеты, так как по условию задачи грунт темный; второе – если бы мы вычисляли среднюю температуру (см. например задание 3 в 10 классе) – мы бы получили коэффициент в знаменателе 16 π 16\pi вместо 4 π 2 4\pi^2 , что уменьшило бы итоговое значение температуры на 6%, и это существенно. Очевидно, что температура обратно пропорциональна расстоянию до планеты L в степени 0.5. Найдем отношение средних температур летом и зимой:

T P T A = L A L P = 1 + e 1 − e ≈ 1 + e = 1.05. \frac{T_P}{T_A} = \sqrt{\frac{L_A}{L_P}} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \approx 1 + e = 1.05.

Чтобы определить сами температуры, учтем, что ночью, когда температуры равны ( T P − 10 ∘ ) (T_P - 10^\circ) летом и ( T A − 10 ∘ ) (T_A - 10^\circ) зимой, для обеспечения комфортной температуры T C T_C в палатке зимой внутри нее требовался втрое более мощный обогрев, чем летом. Считая, что отток тепла от палатки пропорционален разнице температур внутри и снаружи палатки, и что этот отток равен темпу нагрева палатки находящимися внутри людьми, получаем

T C − ( T A − 10 ∘ ) T C − ( T P − 10 ∘ ) = 3. \frac{T_C - (T_A - 10^\circ)}{T_C - (T_P - 10^\circ)} = 3.

Подставляя сюда предыдущую формулу, имеем:

T A = T C + 10 ∘ 1.075 = 282 K ; T P = 296 K . T_A = \frac{T_C + 10^\circ}{1.075} = 282K; \quad T_P = 296K.

Возвращаясь к уравнению теплового баланса и зная светимость звезды, определяем расстояние до нее (например, в афелии):

L A = J 0 4 π 2 σ T A 4 = 1.106 a . e . L_A = \sqrt{\frac{J_0}{4\pi^2 \sigma T_A^4}} = 1.106 \ a.e.

Среднее расстояние планеты от Солнца составляет 1.054 а.е. Так как звезда похожа на Солнце, мы получаем значение периода обращения планеты: 1.08 земных лет. За это время проходит 101 оборот планеты вокруг звезды. Таким образом, период осевого вращения есть 3.91 земных дня.