ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный11 класс2023Есть решение редакция rv_c76d61e8fa47151b ID p_8ffff8d81c6309e4
Предложить исправление

Земной наблюдатель видит, что угловое удаление Венеры и Марса от Солнца одинаково и больше нуля. В тот же момент на Марсе можно наблюдать верхнее соединение Венеры с Солнцем. Определите угловое удаление Венеры от Солнца для земного наблюдателя. Орбиты всех планет считать круговыми и лежащими в плоскости эклиптики. Определите минимально возможное время, за которое одна из планет окажется на одной линии с Солнцем для земного наблюдателя. Рассмотрите все возможные варианты и конфигурации. Сопроводите решение подробным чертежом.

Решение

Показать решение

Изобразим на рисунке положение планет.

Заметим, что отрезок Земля–Солнце – биссектриса треугольника. Свойство биссектрисы – делить противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон. Это значит, что

r B r M = a B a M = 0.72 1.52 . \frac{r_{\rm B}}{r_{\rm M}} = \frac{a_{\rm B}}{a_{\rm M}} = \frac{0.72}{1.52}.

Запишем теорему косинусов для сторон Земля–Венера и Земля–Марс. Угол Земля–Солнце–Венера обозначим за α:

r B 2 = a ⊕ 2 + a B 2 − 2 a ⊕ a B cos α , r_{\rm B}^2 = a_{\oplus}^2 + a_{\rm B}^2 - 2 a_{\oplus} a_{\rm B} \cos \alpha,
r M 2 = a ⊕ 2 + a M 2 − 2 a ⊕ a M cos ( 180 − α ) = a ⊕ 2 + a M 2 + 2 a ⊕ a M cos α . r_{\rm M}^2 = a_{\oplus}^2 + a_{\rm M}^2 - 2a_{\oplus}a_{\rm M}\cos(180 - \alpha) = a_{\oplus}^2 + a_{\rm M}^2 + 2a_{\oplus}a_{\rm M}\cos\alpha.

Здесь мы учли, что cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \cos{(180^{\circ} - \alpha)} = -\cos{\alpha} . Поделим одно уравнение на другое:

( r B r M ) 2 = ( a B a M ) 2 = a ⊕ 2 + a B 2 − 2 a ⊕ a B cos α a ⊕ 2 + a M 2 + 2 a ⊕ a B cos α . \left(\frac{r_{\rm B}}{r_{\rm M}}\right)^2 = \left(\frac{a_{\rm B}}{a_{\rm M}}\right)^2 = \frac{a_{\oplus}^2 + a_{\rm B}^2 - 2 a_{\oplus} a_{\rm B} \cos \alpha}{a_{\oplus}^2 + a_{\rm M}^2 + 2 a_{\oplus} a_{\rm B} \cos \alpha}.

Нам неизвестна только одна величина – соѕ α. Решим уравнение относительно нее. Тогда

cos α = 0.366 ⇒ α = 68.5 ∘ . \cos \alpha = 0.366 \Rightarrow \alpha = 68.5^{\circ}.

По теореме косинусов находим сторону r B r_{\rm B} :

r B ≈ 1  a. e. r_{\rm B} \approx 1 \text{ a. e.}

Теперь по теореме синусов легко находится угол Венера-Земля-Солнце:

r B sin α = a B sin ε ⇒ sin ε = sin α a B r B , \frac{r_{\rm B}}{\sin \alpha} = \frac{a_{\rm B}}{\sin \varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \sin \varepsilon = \sin \alpha \frac{a_{\rm B}}{r_{\rm B}},

откуда ε = 42 ∘ \varepsilon = 42^{\circ} – угловое удаление Венеры от Солнца.

Для того, чтобы правильно ответить на второй вопрос задачи, обратим внимание, что условию задачи удовлетворяют два варианта взаимного расположения планет. В одном Венера находится к востоку от Солнца, а Марс – к западу, а в другом – наоборот. Перейдем в такую систему отсчета, в которой и Солнце, и Земля неподвижны. В этой системе координат планеты будут совершать один оборот по своей орбите за синодический период, причем Венера будет двигаться против часовой стрелки, а Марс – по часовой.

К этому выводу легко прийти, воспользовавшись угловыми скоростями. Если T ⊕ T_{\oplus} и T планеты T_{\text{планеты}} – сидерические периоды Земли и планеты, то разность угловых скоростей Земли и планеты составит их относительную угловую скорость:

| 360 ∘ T ⊕ − 360 ∘ T планеты | = | ω ⊕ − ω планеты | = ω отн = 360 ∘ S планеты . \left|\frac{360\,^{\circ}}{T_{\oplus}} - \frac{360\,^{\circ}}{T_{\text{планеты}}}\right| = \left|\omega_{\oplus} - \omega_{\text{планеты}}\right| = \omega_{\text{отн}} = \frac{360\,^{\circ}}{S_{\text{планеты}}}.

Здесь относительной угловой скорости поставлено в соответствие время S, которое и является синодическим периодом. Направление движения планеты определяется знаком выражения под модулем. Величины синодических периодов для Венеры и Марса равны 584 и 780 суток соответственно.

Рассмотрим вариант, изображенный на левом рисунке. Венере до нижнего соединения остается пройти угол α \alpha , тогда как Марсу до противостояния нужно пройти угол 180 ∘ 180^{\circ} – α \alpha . Синодический период Марса больше и больше путь, который ему надо пройти, поэтому, очевидно, что время до соединения Венеры пройдет меньше:

t 1 , B = α ⋅ S B 360 ∘ ≈ 111 cyr , t 1 , M = ( 180 ∘ − α ) ⋅ S M 360 ∘ ≈ 242 cyr . t_{1, B} = \alpha \cdot \frac{S_{B}}{360^{\circ}} \approx 111 \,\text{cyr}, \quad t_{1, M} = (180^{\circ} - \alpha) \cdot \frac{S_{M}}{360^{\circ}} \approx 242 \,\text{cyr}.

Теперь обратимся к правому рисунку. В этом варианте Марсу остается пройти угол α \alpha до соединения, тогда как Венере потребуется пройти угол 180 ∘ 180^{\circ} – α \alpha , отделяющий ее от верхнего соединения. Для этого им потребуется

t 2 , B = ( 180 ∘ − α ) ⋅ S B 360 ∘ ≈ 181  cyr , t 2 , M = α ⋅ S M 360 ∘ ≈ 148  cyr . t_{2, B} = (180 \circ - \alpha) \cdot \frac{S_B}{360 \circ} \approx 181 \text{ cyr}, \quad t_{2, M} = \alpha \cdot \frac{S_M}{360 \circ} \approx 148 \text{ cyr}.

В этом случае уже Марс оказывается быстрее на одной линии с Солнцем, однако искомое минимальное время получается именно в первом варианте: 111 суток.