ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

Автор: О.С. Угольников/Е.Н. Фадеев

АстрономияРегиональный11 класс2017Есть решение редакция rv_610c32f03883fde3 ID p_953e8b1b009c41a4
Предложить исправление

На рисунке показана зависимость звездной величины некоторой кометы на Земле от времени. Определите большую полуось и эксцентриситет орбиты кометы. Считать, что орбита лежит в плоскости эклиптики и не заходит внутрь орбиты Земли. Светимость кометы обратно пропорциональна четвертой степени ее расстояния от Солнца, комета рассеивает свет равномерно во всех направлениях. Орбиту Земли считать круговой.

Решение

Показать решение

По условию задачи, светимость кометы достаточно резко зависит от ее расстояния до Солнца. Звездная величина кометы, регистрируемая на Земле, меняется вследствие изменения расстояний между кометой и Солнцем и между кометой и Землей.

Чтобы решить задачу наиболее простым способом, обратим внимание, что зависимость звездной величины кометы полностью повторяется через 6 лет. Более того, этот период кратен земному году, то есть периоду обращения Земли вокруг Солнца. По истечении 6 лет Земля оказывается в той же точке орбиты, следовательно, комета также проходит ту же точку своей орбиты. Следовательно, промежуток времени в 6 лет содержит кратное число периодов обращения кометы вокруг Солнца.

Блеск кометы становится максимальным (звездная величина минимальна) в моменты 0, 6 и 12 лет. В это время профиль кривой блеска симметричен относительно максимума. Следовательно, в это же время комета располагается в точке перигелия орбиты и при этом находится либо в противостоянии, либо в соединении с Солнцем.

Между главными максимумами видно еще по 4 максимума блеска и 5 минимумов между ними. Они вызваны тем, что комета периодически оказывается в противостоянии с Солнцем, приближаясь к Земле, и в соединении с ним, удаляясь от Земли. Если бы комета двигалась по орбите навстречу Земле (в противоположном направлении), то за 6 лет наблюдалось бы более 6 соединений и противостояний. Наличие 5 минимумов блеска говорит о пяти соединениях за 6-летний период. Следовательно, синодический период кометы S не превышает 1.2 года (в реальности, он точно равен этой величине, как можно убедиться по графику). Учитывая, что комета находится дальше от Солнца, чем Земля, ее орбитальный период T может быть найден по формуле:

1 S = 1 T 0 − 1 T . \frac{1}{S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}.

Здесь T0 – орбитальный период Земли (один год). Период T составляет ровно 6 лет, и комета движется по орбите в том же направлении, что и Земля. Большая полуось орбиты кометы составляет

a = 6 2 / 3 = 3.3  a.e. a = 6^{2/3} = 3.3 \text{ a.e.}

На графике видно, что в моменты времени 3 года и 9 лет комета находится в соединении с Солнцем на максимальном удалении от Земли (положение 2 на рисунке). Наша планета в это время занимает то же положение, что и в моменты времени 0, 6 и 12 лет. Значит, в эти моменты комета находится в положении 1, в противостоянии с Солнцем (по условию задачи, она не заходит внутрь орбиты Земли). Дальнейшее решение можно производить разными способами. В частности, можно определить по графику звездные величины кометы в эти два момента:

Отношение видимых яркостей кометы в эти моменты:

K = 10 0.4 ( m 2 − m 1 ) = 1000 K = 10^{0.4(m_2 - m_1)} = 1000

Пусть r — радиус орбиты Земли, e — эксцентриситет орбиты кометы. Расстояние от Земли до кометы в моменты 1 и 2 равны:

d 1 = a ( 1 − e ) − r ; d_1 = a (1 - e) - r;
d 2 = a ( 1 + e ) + r ; d_2 = a (1 + e) + r;

С учетом зависимости яркости кометы от расстояний до Солнца и Земли имеем:

K = d 2 2 d 1 2 ⋅ ( 1 + e ) 4 ( 1 − e ) 4 . K = \frac{d_2^2}{d_1^2} \cdot \frac{(1+e)^4}{(1-e)^4}.

В итоге, мы получаем кубическое уравнение для эксцентриситета:

K = a ( 1 + e ) + r a ( 1 − e ) − r ⋅ ( 1 + e ) 2 ( 1 − e ) 2 , \sqrt{K} = \frac{a(1+e)+r}{a(1-e)-r} \cdot \frac{(1+e)^2}{(1-e)^2},

которое можно решить численным подбором, получив значение эксцентриситета: e=0.4. Однако, существует более простой способ. С точностью до 0.1 m 0.1^{\rm m} можно определить, какую звездную величину имела бы комета в афелии (положение 2), находись она при этом в противостоянии (Земля в положении 3). Эта величина составляет

m 3 = 13.4. m_3 = 13.4.

Эта величина отличается от m 2 m_2 только за счет меньшего расстояния от Земли. Тогда мы можем записать

K 2 = 10 0.4 ( m 2 − m 3 ) = 2.5 = ( a ( 1 + e ) + r a ( 1 + e ) − r ) 2. K_2 = 10^{0.4(m_2 - m_3)} = 2.5 = \left(\frac{a(1+e) + r}{a(1+e) - r}\right)^2.

Отсюда имеем

e = r a K 2 + 1 K 2 − 1 − 1 = 0.35 , e = \frac{r}{a} \frac{\sqrt{K_2} + 1}{\sqrt{K_2} - 1} - 1 = 0.35,

что можно считать хорошим приближенным ответом.

6. Система оценивания. Для решения задачи участники должны установить, что комета обращается по своей орбите с периодом в 6 лет и получить из этого величину большой полуоси ее орбиты. Данный этап решения оценивается в 3 балла (при раздельном выполнении 2 балла ставится за определение периода 1 балл — за определение большой полуоси). Участники могут сделать это развернутым способом, как приведено выше, а могут сразу оценить синодический период кометы (1.2 года) и вычислить из него орбитальный период, что также считается правильным. Если участник сразу и без обоснования пишет, что орбитальный период кометы составляет 6 лет, то 2 балла за первый этап решения не выставляются, но дальнейшее решение оценивается в полной мере (максимальная оценка — 6 баллов).

Вывод о том, что в моменты времени 0, 6 и 12 лет комета находится в перигелии и противостоянии, а в моменты времени 3 и 9 лет — в афелии и соединении (сделанный в явном виде либо следующий из рисунка), оценивается в 2 балла. Вычисление эксцентриситета орбиты кометы оценивается в 3 балла, причем это может делаться точным методом на основе анализа величин m 1 m_1 и m 2 m_2 , возможно использование приближенного метода, аналогичного описанному выше. Значения эксцентриситета в интервале от 0.3 до 0.5 могут считаться правильными.