ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

11.1 «В ДАЛЕКОМ СОЗВЕЗДИИ ТАУ КИТА»

Автор: А.В. Веселова

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_9ae6098a97aa8c28 ID p_9681de448c45807d
Предложить исправление

В планетной системе около звезды τ \tau Кита с массой 0.78 массы Солнца обращается несколько планет. Планета c обладает круговой орбитой радиуса 0.195 а.е., планета e движется в той же плоскости и в том же направлении по эллиптической орбите с большой полуосью 0.538 а.е. и эксцентриситетом 0.18. В некий момент времени произошло великое противостояние планеты e для наблюдателя на планете e. Какой будет фаза планеты e при наблюдении с планеты e спустя 10 дней после великого противостояния?

Решение

Показать решение

В момент великого противостояния обе планеты и центральная звезда находятся на одной прямой, при этом внешняя планета находится в перицентре. Планеты движутся с различными скоростями, как угловыми так и линейными, поэтому конфигурация меняется с течением времени. Определим положения планет спустя 10 дней.

Планета c движется по круговой орбите, период обращения находим по третьему закону Кеплера в системе единиц «масса Солнца – a.e. – год»:

T 2 a 3 = 1 M , T 1 = a 1 3 M = 0.195 3 0.78 = 0.0975 z = 35.6  cym . \frac{T^2}{a^3} = \frac{1}{M}, \quad T_1 = \sqrt{\frac{a_1^3}{M}} = \sqrt{\frac{0.195^3}{0.78}} = 0.0975z = 35.6 \text{ cym}.

Следовательно, за 10 суток внутренняя планета сдвинется на угол α \alpha , равный

α = 360 ∘ ⋅ 10 / 35.6 = 101 ∘ . \alpha = 360^{\circ} \cdot 10/35.6 = 101^{\circ}.

Внешняя планета находится на эллиптической орбите, поэтому для определения смещения понадобится решать уравнение Кеплера. Сначала определим период обращения внешней планеты:

T 2 = a 2 3 M = 0.538 3 0.78 = 0.44720 ∂ a = 163  cym . T_2 = \sqrt{\frac{a_2^3}{M}} = \sqrt{\frac{0.538^3}{0.78}} = 0.44720\partial a = 163 \text{ cym}.

Следовательно, за 10 суток с момента прохождения перигелия средняя аномалия возрастет от нуля до величины

M = 360 ∘ ⋅ 10 / 163 = 22 ∘ M = 360^{\circ} \cdot 10/163 = 22^{\circ}

Нас интересует величина истинной аномалии, следовательно, сначала требуется решить уравнение Кеплера и определить эксцентрическую аномалию, а затем связать ее с истинной. Уравнение Кеплера имеет вид

E − e sin E = M , E - e \sin E = M,

где все угловые величины выражены в радианах. После подстановки значений уравнение выглядит как

E − 0.18 s i n E = 0.385. E - 0.18 sin E = 0.385.

Данное уравнение приходится решать численно; поскольку эксцентриситет сравнительно невелик, можно воспользоваться методом последовательных приближений:

E 0 = M , E 1 = M + e sin E 0 , . . . E n = M + e sin E n − 1 , . . . E_0 = M, \quad E_1 = M + e \sin E_0,... E_n = M + e \sin E_{n-1},...

Итерации прекращаем в случае, когда модуль разности двух последовательных значений E будет меньше заданной точности. В нашем случае последовательность приближений будет выглядеть так: E 0 = 0.385 E_0 = 0.385 , E 1 = 0.4526 E_1 = 0.4526 , E 2 = 0.4637 E_2 = 0.4637 , E 3 = 0.4655 E_3 = 0.4655 , E 4 = 0.4658 E_4 = 0.4658 . Здесь цепочку приближений можно завершить. Эксцентрическая аномалия составит E = 26.7 ∘ E = 26.7^{\circ} . Истинная аномалия связана с эксцентрической соотношением

operatorname t g v 2 = 1 + e 1 − e ⋅ operatorname t g E 2 , \operatorname{tg} \frac{v}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{E}{2},
v = 2 operatorname a r c t g ( 1 + e 1 − e ⋅ operatorname t g E 2 ) = 2 operatorname a r c t g ( 1 + 0.18 1 − 0.18 ⋅ operatorname t g 26.7 ∘ 2 ) = 31.8 ∘ . v = 2\operatorname{arctg} \left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{E}{2} \right) = 2\operatorname{arctg} \left( \sqrt{\frac{1+0.18}{1-0.18}} \cdot \operatorname{tg} \frac{26.7^{\circ}}{2} \right) = 31.8^{\circ}.

Таким образом, на нашем рисунке α = 101 ∘ \alpha=101^{\circ} , β ≈ 32 ∘ \beta\approx32^{\circ} , разность углов составляет 69 ∘ 69^{\circ} . Определим расстояние от центральной звезды до внешней планеты. Мы знаем истинную аномалию, тогда расстояние от звезды до планеты будет, согласно уравнению эллипса в полярных координатах, равно

r 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) 1 + e cos y = 0.538 ( 1 − 0.18 2 ) 1 + 0.18 cos 32 ∘ = 0.452 a . e . r_2 = \frac{a_2(1 - e^2)}{1 + e \cos y} = \frac{0.538(1 - 0.18^2)}{1 + 0.18\cos 32^\circ} = 0.452 a.e.

Это расстояние незначительно больше перигелийного (0.441 а.е.). В треугольнике, образованном планетами и звездой спустя 10 дней после противостояния, мы знаем две стороны и угол между ними. Определим сначала расстояние между планетами по теореме косинусов:

r = a 1 2 + r 2 2 − 2 a 1 r 2 cos ( α − β ) = 0.42 a . e . r = \sqrt{a_1^2 + r_2^2 - 2a_1r_2\cos(\alpha - \beta)} = 0.42 a.e.

Далее, воспользовавшись теоремой синусов, определим заведомо острый угол ψ \psi с вершиной в положении планеты e:

sin ( α − β ) r = sin ψ a 1 , \frac{\sin(\alpha - \beta)}{r} = \frac{\sin\psi}{a_1},
sin ψ = sin ( α − β ) ⋅ a 1 r = sin 69 ∘ ⋅ 0.195 0.42 = 0.43 , ψ = 25.5 ∘ . \sin\psi = \sin(\alpha - \beta) \cdot \frac{a_1}{r} = \sin 69^\circ \cdot \frac{0.195}{0.42} = 0.43, \quad \psi = 25.5^\circ.

Тогда фаза планеты e, наблюдаемая с планеты c, составит

Φ 2 = 1 + cos ψ 2 = 0.95. \Phi_2 = \frac{1 + \cos \psi}{2} = 0.95.

Угол с вершиной в планете c, равен φ = 180 ∘ − ( α − β ) − ψ = 85.5 ∘ \varphi = 180^{\circ} - (\alpha - \beta) - \psi = 85.5^{\circ} , тогда фаза планеты c, наблюдаемая с планеты e, составит

Φ I = 1 + cos φ 2 = 0.54. \Phi_I = \frac{1 + \cos\varphi}{2} = 0.54.

Фаза примерно соответствует половине освещенной поверхности диска.

Примечание: орбита планеты c почти круговая, эксцентриситетом 0.03 мы пренебрегли, тем более, что ошибка его определения превышает саму оценку эксцентриситета. Более того, существование самой планеты не подтверждено надежно. Наклонение орбит также неизвестно — в условии описана система, лишь отчасти напоминающая реальную.