ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2009ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_2df59306017032df ID p_96d5191c9fed5a81
Предложить исправление
  • 2 Астронавты прибыли на поверхность обитаемой планеты. Наблюдая звездное небо, они обнаружили естественный спутник этой планеты, а также еще одну планету, расположенную ближе к центральной звезде. Синодические периоды спутника и планеты совпадали, а сидерический период планеты был вдвое меньше сидерического периода спутника. Во сколько раз внутренняя планета располагалась ближе к звезде, чем планета, с которой велись наблюдения? Все орбиты в системе круговые и лежат в одной плоскости.

Решение

Показать решение
  • Период обращения внутренней планеты вокруг центральной звезды (ее сидерический период) T 1 T_1 меньше периода обращения той планеты, куда прибыли путешественники, T 0 T_0 . Период обращения спутника вокруг планеты (сидерический период спутника) T 2 T_2 также меньше, нежели T 0 T_0 , иначе спутник потерял бы гравитационную связь с планетой и перешел бы на орбиту вокруг центральной звезды. Величины синодических периодов внутренней планеты и спутника выражаются одинаковыми соотношениями:
1 S 1 , 2 = 1 T 1 , 2 ± 1 T 0 . \frac{1}{S_{1,2}} = \frac{1}{T_{1,2}} \pm \frac{1}{T_0}.

Знак "—" берется, если вращение внутренней планеты (спутника) вокруг звезды (планеты) происходит в ту же сторону, что и вращение обитаемой планеты вокруг звезды, а знак "+" в противоположном случае. Если бы все три тела обращались по своим орбитам в одну и ту же сторону, то равенство сидерических периодов T 1 , 2 T_{1,2} означали бы равенство синодических периодов S 1 , 2 S_{1,2} и наоборот. Астронавты же зарегистрировали равенство синодических периодов S 1 S_1 и S 2 S_2 , при том, что сидерический период спутника T 2 T_2 превосходил сидерический период планеты T 1 T_1 ровно вдвое. Такое могло быть только в том случае, если спутник обращался вокруг планеты в направлении, противоположном направлению вращения обеих планет вокруг звезды. В итоге, мы имеем:

1 S 1 = 1 T 1 − 1 T 0 , 1 S 2 = 1 T 2 + 1 T 0 . \frac{1}{S_1} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}, \qquad \frac{1}{S_2} = \frac{1}{T_2} + \frac{1}{T_0}.

Учитывая, что S 1 = S 2 S_1 = S_2 и T 2 = 2 T 1 T_2 = 2T_1 , получаем:

1 T 1 − 1 T 0 = 1 2 T 1 + 1 T 0 ; T 1 = T 0 4 . \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2T_1} + \frac{1}{T_0}; \quad T_1 = \frac{T_0}{4}.

Искомое отношение радиусов орбит получается из III закона Кеплера:

r 1 r 0 = ( T 1 T 0 ) 2 / 3 = 0.4. \frac{r_1}{r_0} = \left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{2/3} = 0.4.