ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

11.4 ГОРЯЧАЯ ПЫЛЬ

Автор: Е.Н. Фадеев

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_920e9919fe795f04 ID p_a0614423055d7266
Предложить исправление

Измерения в ИК-диапазоне показали, что белый карлик окружает кольцо из темных пылинок с температурой не более 1500 К. Предполагается, что пылинки попадают в кольцо в результате приливного разрушения пролетающих мимо астероидов. Оцените внутренний и внешний радиусы кольца в километрах, если масса белого карлика 0.8 масс Солнца, радиус белого карлика 0.01 радиусов Солнца, его температура 20000 K, а плотность астероидов 1 г/см3.

Решение

Показать решение

Пылинки, находящиеся на разном расстоянии имеют разную температуру: чем ближе к звезде, тем выше температура. Если максимальная температура пылинок 1500K, следовательно, при большей температуре пылинки испаряются. Отсюда можно оценить внутренний радиус кольца R 1 R_1 . Из закона Стефана-Больцмана следует, что частица получает от звезды энергию

L 0 4 π R 1 2 π r 2 = 4 π R 0 2 σ T 0 4 4 π R 1 2 π r 2 = π R 0 2 σ T 0 4 r 2 R 1 2 \frac{L_0}{4\pi R_1^2}\pi r^2 = \frac{4\pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4\pi R_1^2}\pi r^2 = \frac{\pi R_0^2 \sigma T_0^4 r^2}{R_1^2}

Здесь L 0 L_0 , R 0 R_0 и T 0 T_0 — светимость, радиус и температура звезды, r — радиус астероида. Всю эту энергию частица, нагретая до температуры T, должна излучать. Тогда

π R 0 2 σ T 0 4 r 2 R I 2 = 4 π r 2 σ T 4 , R 1 = R 0 2 ( T 0 T ) 2 ≈ 90 R 0 ≈ 630000 км \frac{\pi R_0^2 \sigma T_0^4 r^2}{R_I^2} = 4\pi r^2 \sigma T^4, \quad R_1 = \frac{R_0}{2} \bigg(\frac{T_0}{T}\bigg)^2 \approx 90 R_0 \approx 630000 \, \text{км}

Радиус внешней границы R 2 R_2 оценим из условия приливного распада. Пусть астероид сферически симметричный. Тогда на центр астероида действует сила притяжения звезды, создающая ускорение

w 0 = G M R 2 2 . w_0 = \frac{GM}{R_2^2}.

На ближайшем к звезде краю астероида это ускорение составит

w 1 = G M ( R 2 − r ) 2 . w_1 = \frac{GM}{(R_2 - r)^2}.

Разность ускорений, действующих на ближнюю и центральную части астероида со стороны звезды, или приливное ускорение, есть

w T = w I − w 0 = G M R 2 2 [ ( 1 − r R 2 ) − 2 − 1 ] ≈ G M R 2 2 ( 1 + 2 r R 2 + 1 ) = 2 G M r R 2 3 w_{T} = w_{I} - w_{0} = \frac{GM}{R_{2}^{2}} \left[ \left( 1 - \frac{r}{R_{2}} \right)^{-2} - 1 \right] \approx \frac{GM}{R_{2}^{2}} \left( 1 + 2\frac{r}{R_{2}} + 1 \right) = \frac{2GMr}{R_{2}^{3}}

Здесь M — масса звезды, r — радиус астероида. От разрыва астероид удерживает собственная гравитация, ускорение которой равно

w g = G m r 2 = 4 3 π G ρ r . w_g = \frac{Gm}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G\rho r.

Условием разрушения астероида является равенство приливного и гравитационного w T = w g w_{\rm T}=w_{\rm g} . Отсюда

R 2 = ( 3 M 2 π ρ ) 1 / 3 ≈ 910000 км R_2 = \left(\frac{3M}{2\pi\rho}\right)^{1/3} \approx 910000 \, \text{км}