11.8 Геометрически точно

Автор: В.В.Григорьев

Астрономия 11 класс 2026 Есть решение редакция rv_db05aaab69805813 ID p_a0b2f00477d4dc2e

Вам дана заготовка схемы (с указанным масштабом) зеркального телескопа, состоящего из первичного параболического собирающего зеркала диаметром D¹ = 260 см с относительным отверстием 1 : 3.85 и вторичного рассеивающего гиперболического зеркала с фокусным расстоянием F² = −275 см. В точках O¹ и O² соответственно эти зеркала пересекают главную оптическую ось. Диаметр поля зрения телескопа составляет 19′25′′ .

A. Определите тип оптической системы (название) и ее эффективное фокусное расстояние F.
B. Изобразите оба зеркала строго в соответствии с их геометрическими характеристиками, укажите эти характеристики на чертеже, поглощающую часть обозначьте штриховкой или закрасьте, считая, что толщина зеркал не превышает 25 см.
C. Изобразите ход хотя бы одного луча внутри трубы телескопа от звезды, находящейся в центре поля зрения, до фокальной плоскости.
D. Какое минимальное число одиночных кадров потребуется для получения изображения спиральной галактики с угловыми размерами 6 ′ × 1 ′ , если в фокальной плоскости установлена идеальная ПЗС-матрица разрешением 2048 × 2048 с пикселями размером 5 × 5 мкм?
E. Назовите телескоп или укажите его местоположение, если известно, что он находится на территории бывшего СССР.

Решение

Показать решение

Решение. Система телескопа с параболическим объективом и гиперболическим вторичным зеркалом является системой Кассегрена. В классической схеме Кассегрена фокусы первичного и вторичного зеркал совпадают, но их допускается разнести, например, для изменения выноса фокуса. В больших телескопах порой изменение положения вторичного зеркала используется для фокусировки телескопов. Заметим, что фокусное расстояние зеркала и фокусное расстояние гиперболы как математической кривой — разные понятия, и их не следует путать.

Относительное отверстие объектива позволяет рассчитать его фокусное расстояние F¹ = 2.6 · 3.85 = 10 м. Благодаря имеющемуся масштабу можно обозначить часть

параболы, реально являющуюся зеркалом, однако стоит помнить, что в системе Кассегрена фокус выносится за главное зеркало, так что в нем необходимо будет сделать отверстие. Также отметим, что расстояние между центрами зеркал вдоль оптической оси |O1O2| = 7.9 метра, которое получается из масштаба схемы при помощи линейки.

Далее найдем положение фокальной плоскости телескопа (эффективного фокуса). Это можно сделать двумя разными способами. Будем считать, ввиду малого поля зрения можно рассматривать гиперболическое зеркало с заданным фокусным расстоянием как параксиальное рассеивающее зеркало (фактически, заменив его сферическим). Так как из условия напрямую следует, что фокусы заданных поверхностей не совпадают, то оптическое свойство гиперболы неприменимо.

Вариант 1. Получение эффективного фокуса геометрически

Обратим внимание, что параболическая поверхность нам дана довольно большого диаметра (больше размеров объектива), значит, можно использовать этот факт для более точных построений. На рисунке ниже путь такого луча будет обозначен синим цветом. Красный же луч является лучом, попадающим в край главного зеркала, то есть идущим в пределах трубы телескопа, но он также подходит для подобного построения.

Отметим фокус F¹ первичного зеркала на чертеже и построим луч A′B′ , параллельный главной оптической оси: после отражения он пересечет ее в фокусе. Однако, дальше гиперболического зеркала луч не пойдет (попав в точку C ′ ), отразившись в обратную сторону, поэтому участок до фокуса обозначен пунктиром. Куда именно пойдет отраженный луч от точки C ′ ? Для ответа на этот вопрос необходимо изобразить фокальную плоскость гиперболического зеркала (линия F2), а также построить луч B′′O² (зеленый), параллельный B′C ′ , приходящий в центр вторичного зеркала. Продолжение «назад» отраженного луча O2E пересечет фокальную плоскость в точке D′ . Значит, из этой же точки будет исходить продолжение «назад» луча, порожденного лучом B′C ′ , то есть D′C ′F — прямая линия.

Вариант 2. Получение эффективного фокуса аналитически

Параболическое зеркало дает действительное изображение в своей фокальной плоскости. Расстояние между главным зеркалом и получаемым изображением составит

1001 см ≈ 10 м — величину фокусного расстояния. Однако, лучи света дойдут лишь до гиперболического зеркала, преодолев расстояние O1O² = 790 см.

Для гиперболического зеркала, фактически, получится исходный мнимый объект, являющийся действительным изображением от параболического зеркала, находящийся в точке F1. Тогда можно записать формулу тонкой линзы (она работает и для зеркал):

\frac{1}{F_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} \qquad \Rightarrow \qquad f_2 = \frac{F_2 d_2}{d_2 - F_2} = \frac{(-275) \cdot (-210)}{(-210) - (-275)} \approx -890 \text{ cm},

где F² — фокусное расстояние гиперболического зеркала (зеркало рассеивающее, поэтому фокусное расстояние отрицательное), d² = |O2F1| = 790 − 1000 = −210 см — расстояние от вторичного зеркала до объекта (объект мнимый, поэтому расстояние отрицательное), f² = |O2F| — расстояние от вторичного зеркала до действительного изображения (здесь расстояние отрицательное, так как изображение получилось с той же стороны, из которой шли лучи).

Конец вариантов

Оба варианта дают вынос фокуса |O1F| ≈ 1 м. Получаем, что пучок параллельных лучей, попавший в объектив, преодолел расстояние 790 см + 890 см = 1680 см прежде чем сойтись в одной точке. Является ли эта величина эффективным фокусным расстоянием всей системы? Нет, все прозаичнее.

Эффективное фокусное расстояние оптической системы — это фокусное расстояние одной линзы того же диаметра, что и первичное зеркало (в данном случае, хотя обычно учитывается наличие диафрагмы), которая давала бы сходящийся пучок света под тем же углом. Становится понятно, что достаточно рассмотреть подобные треугольники: длина катета |O2C| = D2/2 (радиус гиперболического зеркала) также относится к радиусу объектива как расстояние |F O2| к искомому эффективному фокусному расстоянию F. При этом катет |O2C| пропорционален |O1B| = D1/2 через отношение |O2F1| и F1:

\frac{|O_1B|}{|O_2C|} = \frac{|O_1F_1|}{|O_2F_1|} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{D_2}{2} = |O_2C| = \frac{D_1}{2} \cdot \frac{|O_2F_1|}{|O_1F_1|} = 130 \cdot \frac{210}{1000} = 27.3 \text{ cm},

\frac{|O_2C|}{D_1/2} = \frac{|O_2F|}{F} \ \Rightarrow \ F = \frac{D_1}{2} \cdot \frac{|O_2F|}{|O_2C|} = \frac{D_1}{2} \cdot \frac{|O_2F||O_1F_1|}{|O_1B||O_2F_1|} = \frac{|O_2F||O_1F_1|}{|O_2F_1|} = \frac{890 \cdot 1000}{210} \approx 42.5 \, \mathrm{m}.

Те же вычисления можно проделать и для синего луча с тем же результатом. Итак, мы получили, что эффективное фокусное расстояние телескопа F = 42.5 м, попутно получив размер вторичного зеркала: его диаметр составляет D² = 27.3 · 2 ≈ 55 см. На самом деле размер должен быть немного больше, если учитывать диаметр поля зрения (добавка составляет около 5 см), однако точный расчет не требуется.

Угловое поле зрения в 19′25′′ позволяет определить диаметр изображения l в фокальной плоскости за главным зеркалом:

l=42.5~{\rm M}\cdot\frac{19'\times60''+25''}{206265''/{\rm pag}}=24~{\rm cm}

Так как речь про параксиальные лучи (практически параллельные главной оптической оси), то и вырез в главном зеркале должен быть не меньшего диаметра (добавка получается также около 5 см, что также не требовалось). На схеме выше сами зеркала изображены голубым цветом, отражающие поверхности обращены друг к другу, геометрические размеры указаны фиолетовым цветом. Луч от звезды в центре поля зрения, идущий внутри трубы изображен красным цветом.

Согласно условию, в фокальной плоскости установлена матрица с линейным размером 2048 × 5 мкм ≈ 10 мм, а получаемое изображение участка неба диаметром 19′25′′ имеет линейный размер l = 24 см, что дает участок неба 0 ′ .8 × 0 ′ .8, проецируемый на матрицу. Значит, спиральная галактика (видимая под небольшим углом как эллипс) размерами 6 ′ × 1 ′ имеет максимальный линейный диаметр 7.4 см. Отсюда следует, что нам потребуется 15 полных кадров (или 16 с учетом перекрытия; см. рисунок снизу), так как имеющаяся ПЗС-матрица сильно меньше выходного пучка света.

В данной задаче рассмотрен Зеркальный телескоп им. акад. Г.А.Шайна (ЗТШ) второй по величине телескоп России, находящийся в Крымской астрофизической обсерватории и носящий имя ее первого директора. Его «близнец» (но с главным зеркалом, выполненным из ситалла, а не из пирекса) находится в обсерватории Бюракан (Армения) и носит имя ее основателя и первого директора академика В.А. Амбарцумяна.

Критерии

Показать критерии

Критерии оценивания.

К1.	Схема и фокусное расстояние	7
	Написано «система Кассегрена» 2
	Описаны детали построения лучей или приведены формулы для вычисления
	положения эффективного фокуса 2
	Верно рассчитано эффективное фокусное расстояние F 3
	Если оно считается равным F1 = 10 м или ≈ 17 м — 1 балл.
К2.	Схема телескопа и лучи:	13
	Эффективный фокус находится слева от главного зеркала на схеме
	(погрешность ±0.75 м) 2
	Наличие отверстия в главном зеркале 2
	Верно изображен луч внутри трубы (красный) 2
	Размеры обоих зеркал соответствуют масштабу 2+2
	Подписаны диаметры зеркал и отверстия 1+1+1
К3.	Кадры и название телескопа	5
	Верные размеры матрицы или пикселя (угловые) 2
	Необходимо верное число кадров, соответствующее рассчитанному F 2
	Телескоп ЗТШ/в КрАО (Крым)/в Бюракане (Армения) 1
	Максимальная оценка:	25

Подборка