НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ МАРСА

Астрономия ЗаключительныйКлассы неизвестны2017 Теоретическая Есть решение редакция rv_5592567f4802ba0f ID p_a1bad989646c2a02

Предложить исправление

Орбитальная станция обращается вокруг Марса по экваториальной орбите с выключенными двигателями и каждые полчаса фотографирует поверхность планеты точно под собой (в надире). В таблице приведены моменты съемки по бортовым часам аппарата (Всемирное время на Земле) и марсианская долгота центра кадра. Определите наибольшее и наименьшее расстояние аппарата от центра Марса.

Час (UT)	Долгота	Час (UT)	Долгота	Час (UT)	Долгота	Час (UT)	Долгота
0.0	-159.09	6.0	-20.01	12.0	13.14	18.0	110.98
0.5	-159.03	6.5	-6.32	12.5	12.57	18.5	135.99
1.0	-158.38	7.0	2.71	13.0	12.29	19.0	154.60
1.5	-156.88	7.5	8.53	13.5	12.45	19.5	167.22
2.0	-154.17	8.0	12.19	14.0	13.25	20.0	175.50
2.5	-149.73	8.5	14.36	14.5	14.96	20.5	-179.18
3.0	-142.76	9.0	15.48	15.0	17.97	21.0	-175.87
3.5	-132.05	9.5	15.86	15.5	22.84	21.5	-173.94
4.0	-115.98	10.0	15.73	16.0	30.45	22.0	-172.99
4.5	-93.33	10.5	15.27	16.5	42.10	22.5	-172.73
5.0	-65.98	11.0	14.60	17.0	59.45	23.0	-172.94
5.5	-39.98	11.5	13.85	17.5	83.35	23.5	-173.45

Решение

Показать решение

Съемка поверхности Марса производится с интервалом в 30 минут. Для начала мы должны отметить, что этот интервал времени существенно меньше орбитального периода аппарата. Действительно, даже если не учитывать наличие у Марса атмосферы, минимальное время облета Марса составляет

T_{\scriptscriptstyle M} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^3}{GM}} \sim 1.7 \ \textit{u}.

Следовательно, мы можем не рассматривать варианты совершения спутником целого оборота за время между двумя последовательными актами съемки. Приведенные в таблице данные можно анализировать напрямую, можно представить их в виде графика. Мы видим,

что большую часть времени долгота точки Марса под спутником меняется медленно, но в некоторые периоды начинает быстро возрастать. Из этого можно сделать вывод, что спутник обращается по эллиптической орбите в ту же сторону, что и вращение Марса вокруг своей оси. Большую часть времени угловая скорость спутника сравнима с угловой скоростью Марса, и он даже может отставать от планеты, смещаясь над ее поверхностью на запад. Вблизи периария угловая скорость спутника заметно увеличивается, и он начинает обгонять осевое вращение Марса.

По приведенным данным можно оценить моменты прохождения периария, во время которых рост долготы происходил максимально быстро. Эти моменты соответствуют 4.75ч и 17.75ч. Из этого мы получаем величину орбитального периода T: 13.0 часов. Из III закона Кеплера определяем величину большой полуоси орбиты аппарата:

a = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 13300 \text{ км.}

Эксцентриситет орбиты Марса, а вместе с ним и наибольшее и наименьшее расстояние проще всего найти, определив угловые скорости аппарата в периастрии и апоастрии. Взяв найденные интервалы, соответствующие периастрию (4.5-5.0 часов и 17.5-18.0 часов), мы видим, что долгота точки съемки меняется на 27.5°, то есть ее изменение $\Delta\lambda_P$ составляет 55.0° в час. Момент апоария соответствует середине временного отрезка между периариями, то есть времени 11.25 часов. Взяв интервал (11.0-11.5 час), мы видим, что долгота уменьшается на 0.75°, изменение $\Delta\lambda_A$ есть -1.5° в час. Чтобы определить сами угловые скорости, нужно учесть осевое вращение Марса с периодом S (24.623 часа).

\omega_{\rm p} = \frac{360^{\circ}}{S} + \Delta \lambda_{\rm p} = 69.6^{\circ}/{\rm q}.

\omega_{\rm A} = \frac{360^{\circ}}{S} + \Delta \lambda_{\rm A} = 13.1^{\circ} \text{/ч.}

Из II закона Кеплера мы знаем, что

\frac{\omega_{\rm P}}{\omega_{\rm A}} = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2.

Из этого мы получаем

\frac{1+e}{1-e} = 2.3; e \approx 0.4.

Минимальное и максимальное расстояние аппарата от центра Марса равны

d_{\text{MIN}} = a (1-e) \sim 8.0 \text{ тыс.км}; \ d_{\text{MAX}} = a (1+e) \sim 18.6 \text{ тыс.км}.

Система оценивания (от одного члена жюри). Для решения задачи необходимо правильно интерпретировать представленные в таблице данные, и получить из них величины большой полуоси и эксцентриситета орбиты космического аппарата.

Подборка

НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ МАРСА

Решение