ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный10 класс2023Есть решение редакция rv_c58ccfa99a792335 ID p_a2c8a7fc46b28240
Предложить исправление

Координаты звезды α 0 = 6 h 40 m \alpha_0 = 6^{\rm h} \, 40^{\rm m} , δ 0 = 23.5 ∘ \delta_0 = 23.5^{\circ} . Расстояние до звезды r 0 = 20 r_0 = 20 пк. У звезды имеется собственное движение μ α = 0 ″ / r o g \mu_{\alpha} = 0''/{\rm rog} и μ δ = 0.74 ″ / r o g \mu_{\delta} = 0.74''/{\rm rog} . Лучевая скорость звезды v r = − 39 v_{\rm r} = -39 км/с. Определите:

  • Координаты звезды, когда она удалится от нас на бесконечность
  • Время, за которое звезда окажется в текущем полюсе мира
  • Координаты звезды в момент минимального сближения

Прецессию земной оси и движение звезд внутри галактики не учитывать.

Решение

Показать решение

Ответим сначала на первый вопрос задачи. Из условия задачи можем определить трансверсальную скорость звезды в картинной плоскости.

v τ = 4.74 μ π = 4.74 μ ⋅ r 0 = 70.2 km/c . v_{\tau} = 4.74 \frac{\mu}{\pi} = 4.74 \,\mu \cdot r_0 = 70.2 \,\text{km/c}.

Определим угол между направлением движения звезды и направлением на наблюдателя. Этот угол можно определить из треугольника скоростей, так как это угол между лучевой скоростью и полной скоростью.

t g α = v τ v r tg\alpha = \frac{v_{\tau}}{v_{r}}

Отсюда α = 60.9 ∘ \alpha = 60.9^{\circ} .

Направление скорости звезды образует угол δ ′ = α − δ 0 = 60.9 ∘ − 23.5 ∘ = 37.4 ∘ \delta' = \alpha - \delta_0 = 60.9^{\circ} - 23.5^{\circ} = 37.4^{\circ} с плоскостью небесного экватора. Следовательно, именно этот угол и будет являться новым склонением:

α n e w = 18 h 40 m , δ n e w = 37.4 ∘ . \alpha_{new} = 18^{h} 40^{m}, \quad \delta_{new} = 37.4^{\circ}.

Перейдем ко второму вопросу. Поскольку движение звезды происходит строго по склонению, то в какой-то момент она окажется в точке текущего полюса мира (P). Для этого звезда по небу должна переместиться на угол, равный полярному расстоянию звезды: 90 ∘ − δ 0 = 66.5 ∘ 90^{\circ} - \delta_0 = 66.5^{\circ} . Рассмотрим треугольник PNS0: в нем мы знаем сторону NS0 = r 0 r_0 и два угла. Определим из геометрических соображений сторону PS0, равную r = v F ⋅ t r = v_F \cdot t , где v F v_F – полная скорость звезды.

Из теоремы синусов следует:

r sin ( 90 − δ 0 ) = r 0 sin γ . \frac{r}{\sin(90-\delta_0)} = \frac{r_0}{\sin\gamma}.

Выражаем r:

r = r 0 sin ( 90 − δ 0 ) sin γ = r 0 cos δ 0 sin ( 180 − 90 + δ 0 − α ) = 23.1 п к . r = r_0 \frac{\sin \left(90 - \delta_0\right)}{\sin \gamma} = r_0 \frac{\cos \delta_0}{\sin \left(180 - 90 + \delta_0 - \alpha\right)} = 23.1 \,\mathrm{пк}.

Для определения искомого времени, необходимо найти полную пространственную скорость звезды

v F = v r 2 + v τ 2 = 80.3 km/c . v_F = \sqrt{v_{\rm r}^2 + v_{\rm \tau}^2} = 80.3 \,\text{km/c}.

Отсюда время, через которое звезда окажется в точке текущего полюса мира

t = r / v F = 280000  лет. t = r/v_{\rm F} = 280000 \text{ лет.}

Это является ответом на второй вопрос задачи.

Осталось ответить на третий вопрос. Определим координаты звезды в момент максимального сближения звезды с Солнцем. Как следует из рисунка, минимальное сближение произойдет до того, как звезда окажется в полюсе.

Прямое восхождение звезды не меняется, так как нет компоненты собственного движения μα, а эффекты связанные с прецессией мы не учитываем по условию задачи. Склонение звезды увеличится на угол 90° − α = 29.1° и составит δ1 = 23.5° + 29.1° = 52.6°. Это вновь подтверждает, что звезда не успеет перейти на другую сторону от текущего полюса мира, поэтому α1 = 6h 40m .

Otbet: 1)

α n e w = 18 h 40 m , δ n e w = 37.4 ∘ , 2)  t = 280000 π e t , 3)  α 1 = 6 h 40 m , δ 1 = 52.6 ∘ . \alpha_{new} = 18^{h} 40^{m}, \quad \delta_{new} = 37.4^{\circ} \text{, 2) } t = 280000 \qquad \pi e t \text{, 3) } \alpha_{1} = 6^{h} 40^{m}, \quad \delta_{1} = 52.6^{\circ}.