ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: А.В. Веселова

АстрономияРегиональный11 класс2024Есть решение редакция rv_50180ec0dd600e5e ID p_a8f08ee2317c6061
Предложить исправление

В настоящее время некоторая звезда находится на расстоянии 5 пк от Солнца, постепенно удаляясь от него, а отношение величин тангенциальной и лучевой скорости равно 2.5. Чему будет равно аналогичное отношение в момент, когда расстояние между звездой и Солнцем окажется равным 7.5 пк? Какое расстояние успеет пройти звезда от настоящего времени к данному моменту? Движение звезды относительно Солнца считать прямолинейным и равномерным

Решение

Показать решение

Поскольку звезда удаляется от Солнца, лучевая скорость положительна, а траектория движения задается с точностью до зеркального отражения. Запишем отношение компонент скорости в оба момента времени:

v T 1 v L 1 = v ⋅ sin φ 1 v ⋅ cos φ 1 = tan φ 1 = 2.5 , \frac{v_{T1}}{v_{L1}} = \frac{v \cdot \sin \varphi_1}{v \cdot \cos \varphi_1} = \tan \varphi_1 = 2.5,

отсюда ϕ 1 = 68.2 ∘ \phi_1 = 68.2^{\circ} . Для второго момента времени отношение окажется равным

v T2 v L2 = v ⋅ sin φ 2 v ⋅ cos φ 2 = tan φ 2. \frac{v_{\text{T2}}}{v_{\text{L2}}} = \frac{v \cdot \sin \varphi_2}{v \cdot \cos \varphi_2} = \tan \varphi_2.

Пусть r 1 r_1 и r 2 r_2 — текущее и будущее расстояние до звезды. Из теоремы синусов следует, что

r 2 sin ( 180 ∘ − φ 1 ) = r 1 sin φ 2 , \frac{r_2}{\sin(180^\circ - \varphi_1)} = \frac{r_1}{\sin\varphi_2},
sin φ 2 = r 1 r 2 sin ( 180 ∘ − φ 1 ) = 5 7.5 sin ( 180 ∘ − 68.2 ∘ ) = 0.619. \sin\varphi_2 = \frac{r_1}{r_2}\sin(180^\circ - \varphi_1) = \frac{5}{7.5}\sin(180^\circ - 68.2^\circ) = 0.619.

Отсюда угол ϕ 2 = 38.2 ∘ \phi_2 = 38.2^{\circ} , мы выбираем именно острый угол, так как ϕ 2 < ϕ 1 \phi_2 < \phi_1 . Следовательно, отношение компонентов скорости окажется равным tan ϕ 2 = 0.79 \phi_2 = 0.79 . Мы получили ответ на один из вопросов задания.

Угол с вершиной в Солнце между направлениями на два положения звезды равен

θ = 180 ∘ − ( 180 ∘ − φ 1 ) − φ 2 = 30.0 ∘ . \theta = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \varphi_1) - \varphi_2 = 30.0^{\circ}.

Расстояние между двумя положениями звезды оценим по теореме косинусов:

S = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos θ = 5 2 + 7.5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7.5 ⋅ cos 30 ∘ = 4.0  Tight S = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta} = \sqrt{5^2 + 7.5^2 - 2\cdot5\cdot7.5\cdot\cos30^\circ} = 4.0 \text{ Tight}

4. Система оценивания. Решение задания разделяется на две основные части, каждая из которых связана с ответом на один из двух вопросов, каждая часть оценивается в 4 балла. Требуемая точность определения отношения компонент скоростей составляет 0.02, точность определения пути, пройденного звездой — 0.1 пк. Оценка уменьшается на 1 балл за каждое кратное увеличение погрешности. Необходимо отметить, что способ решения участником может отличаться от приведенного выше. Например, путь, пройденный звездой, может быть найден решением квадратного уравнения, образованного теоремой косинусов для того же треугольника, но относительно другого угла.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.