ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияКлассы неизвестны2021ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_3c0f6ea942c00af0 ID p_a90b2f96537e1285
Предложить исправление

Условие. «Марафоном Мессье» называется визуальное наблюдение в телескоп всех объектов каталога Мессье из одной точки Земли в течение одной ночи. Определите, на какой самой северной широте Земли можно провести этот марафон в ночь весеннего равноденствия. Считать, что любой объект каталога Мессье можно увидеть, если Солнце опустилось под горизонт хотя бы на 12 градусов, вне зависимости от характеристик объекта, если только он находится над горизонтом. Поглощение света и атмосферную рефракцию не учитывать.

Вам выдана звездная карта с объектами каталога Мессье, указанными символами, описанными в левом нижнем углу рисунка. Около объектов указаны их номера по каталогу Мессье. Приведена также координатная сетка на эпоху 2000 года. Считайте, что наблюдения проводятся в ту же эпоху.

Решение

Показать решение

Решение. Первое ограничение на широту наблюдения всех объектов каталога Мессье, о котором можно подумать, связано с появлением над горизонтом южных объектов этого каталога. Самый южный объект – рассеянное скопление М7 – имеет склонение около −35° и восходит на широтах до +55°. Однако есть и другие, более сильные ограничения на широту места, связанные с расположением объектов на небе относительно Солнца.

Наблюдения происходят вблизи весеннего равноденствия, когда координаты Солнца составляют (0ч, 0°). Вечером, следом за Солнцем, заходят области неба с большим прямым восхождением, причем в северном полушарии объекты южного небесного полушария делают это раньше, а объекты северного небесного полушария – позже. В правой части карты мы видим, что объектов каталога Мессье южнее экватора там нет, галактика M77 находится на экваторе почти на 3ч восточнее Солнца, она будет достаточно хорошо видна вечером в северных умеренных широтах. Ближе всего к Солнцу располагается галактика М74, но и ее элонгация существенно больше 12°, а северное склонение дает возможность наблюдаться в северных широтах.

Иная ситуация складывается на предрассветном небе. В каталоге Мессье есть объекты с прямым восхождением 21-22ч и южным склонением. В северном полушарии Земли они могут восходить в утренние сумерки и уже не быть видимыми. Сложнее всего на рассвете наблюдать шаровое скопление М30 в созвездии Козерога, именно им и определяется возможность совершить полный "марафон Мессье" в северных широтах. Нам нужно определить широту ϕ, на которой в момент восхода скопления Солнце окажется на глубине h=12° под горизонтом.

Можно решить задачу аналитическим способом. По карте определяем координаты скопления М30: α=21ч40м, δ=−23°. Разница прямых восхождений Солнца и скопления есть 2ч20м или 35°. Скопление находится не очень далеко от Солнца, и можно рассматривать часть небесной сферы как плоскость.

Угол между небесным экватором и направлением от Солнца к скоплению равен

γ = arctan | δ | Δ α = 33 ∘ . tag 1 \gamma = \arctan \frac{|\delta|}{\Delta \alpha} = 33^{\circ}. \tag{1}

Угловое расстояние между скоплением и Солнцем есть

d = Δ α 2 + δ 2 = 42 ∘ . tag 2 d = \sqrt{\Delta \alpha^2 + \delta^2} = 42^{\circ}. \tag{2}

Отсюда мы получаем широту места как угол между экватором и направлением на зенит:

φ = arccos h d − γ = 40 ∘ . tag 3 \varphi = \arccos \frac{h}{d} - \gamma = 40^{\circ}. \tag{3}

Учитывая практический характер задачи и неточность определения координат скопления по карте, задачу можно решить и графически. Для этого пометим на карте положение Солнца, нарисуем окружность радиусом h и центром в Солнце. Это несложно сделать, так как на карте проведены координатные линии:

Горизонт в этом случае есть линия, касающаяся этой окружности. Нас интересует случай, когда горизонт проходит через скопление M30. Построив данную линию, мы можем найти

широту как угол между ней и вертикальной линией карты (направлением на полюс). При аккуратных построениях мы получаем то же значение широты ϕ = +40°.

В действительности, наблюдать шаровое скопление у горизонта во время навигационных сумерек весьма затруднительно, поэтому считается, что полный "марафон Мессье" можно совершить южнее широты +35°.

Критерии

Показать критерии

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап – 4 балла: формулировка предельного условия для широты, при котором "марафон Мессье" может быть совершен полностью. Правильный ответ может быть связан только с шаровым скоплением М30.

Возможная ошибка участника: поиск предельной широты, исходя из координат самого южного объекта каталога Мессье, и запись ответа ϕ=+55° с возможной погрешностью в несколько градусов. Если этот вывод формулируется как частное условие с дальнейшим продолжением решения, то оценка определяется правильностью этого решения. Если же данный ответ считается окончательным, оценка за всю задачу не превосходит 2 баллов и снижается в случае ошибок в поиске южного объекта и вычислении широты.

Возможная ошибка участника: указание иного объекта, определяющего верхнюю границу широтного интервала. В этом случае этап оценивается в 2 балла, последующие оцениваются в том случае, если методика оценки широты соответствует описанным выше, но для иного объекта.

2 этап – 6 баллов: определение широты. Численный и графический способ являются одинаково верными и оцениваются полностью. При условии правильного метода требуемая точность определения широты – 4°, далее оценка снижается на 1 балл за каждые 2° дополнительной погрешности (при этом, очевидно, оценка за этап не может быть меньше 0 баллов). Участники могут не пользоваться плоским приближением и идти методом сферической тригонометрии, что значительно усложняет выкладки. Данный способ засчитывается, если произведен правильно и дает правильный ответ (38°) с требуемой точностью.

При использовании качественно неверной методики определения широты или неверного задания условия для ее поиска, вне зависимости от ответа, этап не засчитывается.