Задача без названия

АстрономияКлассы неизвестны2021 Теоретическая Есть решение редакция rv_48e5a0d116a762a4 ID p_ab5ad745df70bc1d

Условие. Яркая быстрая звезда пролетает далеко позади шарового звездного скопления с массой 300 тысяч масс Солнца и диаметром 30 пк. При наблюдении в небольшой телескоп на Земле скопление имеет однородную поверхностную яркость. Видимая траектория звезды проходит за центром скопления. Во время пролета у звезды могут наблюдаться вспышки видимой яркости за счет сильного гравитационного микролинзирования на звездах скопления. Вспышка происходит, если геоцентрический угол γ между направлениями на далекую звезду-источник и звезду-линзу становится меньшим или равным 2rG/r (радиан), где r – минимальное расстояние между отрезком «Земля – далекая звезда» и линзой, rG – гравитационный радиус линзы (см. рисунок). При каком расстоянии от Земли до скопления у далекой звезды за время пролета вероятно ожидать хотя бы одну вспышку?

Считать, что скопление находится в небе Земли на эклиптике, движение далекой звезды происходит вдоль эклиптики. Собственным движением скопления и его звезд пренебречь.

Решение

Показать решение

Решение. Шаровое скопление состоит из N звезд со средней массой m, его суммарная масса равна M=Nm. Вокруг каждой из звезд на небе есть некоторая область, при попадании в которую звезды-источника произойдет его видимая вспышка за счет сильного микролинзирования. Определим угловой размер этой области.

Пусть r – пространственное расстояние между лучом и линзой, при котором может произойти вспышка. Угол, заданный в условии задачи (в реальности, это угол преломления света на этом расстоянии), составляет

\gamma = \frac{2r_G}{r} = \frac{4Gm}{c^2 r}.\tag{1}

Обозначим расстояние до скопления через L. По условию микролинзирования, угол между направлением на линзу и звезду должен сравняться с $\gamma$ , то есть

r = L\gamma = \frac{4GmL}{c^2r}; \quad r^2 = \frac{4GmL}{c^2}. \tag{2}

Обратим внимание, что для типичной звезды (возьмем к примеру Солнце) на типичном расстоянии до шарового скопления в 8 кпк величина r составляет порядка 10 а.е., что существенно больше радиуса Солнца и превышает радиус орбиты Земли. Даже если предположить, что звезда скопления маломассивна (например, с массой 0.1 массы Солнца), а скопление близкое (расстояние 3 кпк), величина r все равно составит около 2 а.е. Поэтому звезды скопления, за исключением немногочисленных гигантов, не экранируют лучи при линзировании. Диаметр видимого пятна на небе, в которое должен попасть источник, составляет

d = \frac{2r}{L} = \frac{4}{c} \sqrt{\frac{Gm}{L}}. (3)

За время своего пролета звезда преодолеет на небе угловой диаметр скопления D/L, где D – его пространственный диаметр. В условии задачи сказано, что скопление имеет однородную поверхностную яркость, то есть мы можем считать, что звезды распределены равномерно по видимой площади скопления. Тогда их концентрация на единицу видимой площади есть

n = \frac{4NL^2}{\pi D^2}. (4)

Чтобы произошло линзирование, звезда-линза должна оказаться на небе внутри прямоугольника с длиной (D/L) и шириной d, закрашенного серым цветом на рисунке. Так как звезда движется по небу вдоль эклиптики, а движением звезд скопления мы пренебрегаем, параллактическое смещение звезд и скопления за счет орбитального движения Земли не меняет картины. Число вспышек есть число звезд скопления, которые попадут в этот прямоугольник на небе — произведение поверхностной концентрации звезд на площадь прямоугольника:

N_L = \frac{nDd}{L} = \frac{4NdL}{\pi D} = \frac{16N}{\pi cD} \sqrt{GmL}. \tag{5}

Обратим внимание, что число $N_{\rm L}$ возрастает с расстоянием до скопления, то есть линзирование легче заметить на звездах более далеких скоплений. По условию задачи нам надо найти расстояние, при котором число $N_{\rm L}$ достигнет хотя бы единицы. Расстояние до скопления в этом случае

Подборка

Задача без названия

Решение