10.7 Базовая зависимость

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия 10 класс 2025 Есть решение редакция rv_233c84dadb38a93b ID p_ade31809394c54e3

В таблице ниже представлены данные из каталога Brandler et al. по некоторым наиболее ярким звёздам одного рассеянного скопления. Определите показатель степени зависимости «масса – светимость» для звёзд главной последовательности в диапазоне масс от 2 ^⊙ до ^⊙ на примере данного скопления.

номер	lg 𝐿	𝐺𝑚𝑎𝑔	lg 𝑇	lg 𝑔	𝐵𝑃𝑚𝑎𝑔 − 𝐺𝑚𝑎𝑔
1	2.50	5.20	4.126	3.979	-0.018
2	2.37	5.44	4.119	4.06	-0.022
3	2.34	5.43	4.117	4.076	-0.035
4	2.29	5.64	4.113	4.097	-0.04
5	2.22	5.75	4.107	4.129	-0.043
6	1.97	6.16	4.079	4.213	-0.04
7	1.93	6.30	4.073	4.223	-0.037
8	1.82	6.43	4.059	4.245	-0.03
9	1.76	6.60	4.05	4.255	-0.023
10	1.63	6.80	4.036	4.267	-0.019
11	1.63	6.84	4.029	4.271	-0.01
12	1.63	6.82	4.029	4.272	0.026
13	1.61	6.81	4.026	4.274	-0.005
14	1.56	6.90	4.018	4.278	-0.002
15	1.52	7.00	4.010	4.281	0.005
16	1.46	7.20	4.001	4.285	0.007
17	1.41	7.10	3.991	4.288	0.020
18	1.38	7.29	3.987	4.289	0.025
19	1.32	7.35	3.976	4.291	0.038
20	1.29	7.53	3.969	4.292	0.036
21	1.24	7.55	3.960	4.294	0.050
22	1.17	7.65	3.947	4.295	0.060
23	1.12	7.71	3.939	4.297	0.064
24	1.10	7.75	3.935	4.297	0.066
25	1.10	7.80	3.934	4.297	0.078
26	1.08	7.83	3.931	4.298	0.071
27	1.07	7.73	3.930	4.298	0.076
28	1.01	7.96	3.919	4.300	0.082
29	0.98	8.02	3.914	4.301	0.091

В таблице приведены следующие данные: порядковый номер; lg – логарифм болометрической светимости звезды в единицах светимости Солнца; – видимая звёздная величина в полосе G каталога GAIA; lg – логарифм эффективной температуры звезды в кельвинах; lg – логарифм ускорения свободного падения в фотосфере звезды в системе единиц СГС (сантиметр/грамм/секунда); − – показатель цвета для полос и каталога GAIA.

Параллакс звездного скопления составляет = 7.4 миллисекунды дуги. Абсолютная звёздная величина Солнца в полосе G каталога GAIA равна +4.8 . Осевым вращением звезд пренебречь.

Ответ

Показать ответ

Ответ: случай без свободного члена = 4.086.

Решение

Показать решение

Решение.

Для решения задачи нужно получить классическую зависимость «масса-светимость» для звёзд главной последовательности. Она имеет вид:

L \sim M^{\gamma}

$\gamma$ - показатель степени, разный для различных диапазонов масс. И участникам нужно найти показатель степени для указанного в условии диапазона масс.

На первом этапе стоит проверить, что все предоставленные звезды относятся к главной последовательности, так как яркие звезды могут быть и красными гигантами или двойными звездами. На втором этапе, что все они находятся в нужном нам диапазоне масс. Эту нужно сделать, чтобы не обрабатывать и получать зависимость для правильной выборки данных.

Для того, чтобы проверить, что все звезды являются звездами главной последовательности построим диаграмму звездная величина — цвет. Если все верно, то получится плавная линия. Если какие-то точки будут заметно выбиваться, то эти звезды не принадлежат главной последовательности.

Рис. 1: Построенная диаграмма звездная величина-цвет.

Проведем анализ диаграммы. На ней хорошо видны звезды главной последовательности, точка поворота - ухода звезд с главной последовательности. Звезды под номерами 1-5 формируют точку поворота и уже не принадлежат главной последовательности и находятся на следующей

эволюционной стадии. Точка 12 сильно выделяется над полученной главной последовательностью, это может быть двойная система, состоящая из двух примерно одинаковых по массе, и соотвественно цвету, звезд. А может быть звезда фона, которая наложилась в картинной плоскости на рассматриваемое скопление.

Участник может построить аналогичный график, выбрав по вертикальной оси lg . Точки, которые нужно отбросить не изменятся.

Рис. 2: Построенная диаграмма звездная величина-цвет.

Далее участник при решении задачи может действовать следующими способами для всех оставшихся в рассмотрении точек.

Версия в лоб.

Для всех оставшихся точек сделаем следующие действия.

A. Из логарифма температуры вычислить значение температуры фотосферы звезды, а из логарифма светимости – светимость в светимостях Солнца.
B. Определим радиус звезды при помощи закона Стефана-Больцмана = 4²⁴
C. Из lg логарифма ускорения свободного падения получим саму величину
D. Из величины ускорения свободного падения вычислим массу звезды
E. Далее еще раз отсеем те звезды, которые находятся вне диапазона 2 − 5 ^⊙
F. Вычислим логарифм массы $\lg M$ и построить зависимость $\lg L \lg M$
G. Отсеем точки не укладывающиеся в зависимость. Это будут точки от звезд фона либо двойных звезд.

Оставим этот путь для участников, которые обладают нелимитированным количеством времени.

Рациональный подход

Стоит заметить, что на последнем этапе нужно значение логарифма массы звезд, потому что логарифмируя зависимость масса-светимость можно получить линейную зависимость, коэффициент которой сразу дает искомую в задаче величину. Следовательно нет смысла уходить от логарифмов в сторону степенных зависимостей, а проще и удобнее получить общую формулу.

Запишем формулу для ускорения свободного падения и прологарифмируем ее:

g = \frac{GM}{R^2}, \qquad \to \qquad \lg g = \lg G + \lg M - 2\lg R

Запишем закон Стефана-Больцмана и прологарифмируем ее:

L = 4\pi R^2 \sigma T^4, \quad \rightarrow \qquad \lg L = \lg(4\pi\sigma) + 2\lg R + 4\lg T

Из второго выражения выразим $\lg R$ и подставим во первое, выразив в нем $\lg M$

\lg q = \lg G + \lg M - (\lg L - \lg(4\pi\sigma) - 4\lg T) = \lg(4\pi\sigma G) + \lg M - \lg L + 4\lg T

Следовательно:

\lg M = \lg g + \lg L - 4\lg T - \lg(4\pi\sigma G)

Стоит обратить внимание, что ускорение свободного падения $g^*$ дано в величинах системы СГС, следовательно размерность величины сантиметр на квадратную секунду. В системе СИ это величина g будет на два порядка меньше.

\lg q = \lg q^* - 2

Также заметим, что светимость дана в светимостях Солнца. Следовательно, финальная формула будет выглядеть следующим образом:

\lg M = \lg g^* + \lg(L \pounds_{\odot}) + \lg L_{\odot} - 4 \lg T - \lg(4\pi\sigma G) - 2 = \lg g^* + \lg(L \pounds_{\odot}) - 4 \lg T + 14.32 + 26.59 \qquad \lg \frac{M}{M_{\odot}} = -30.3

Альтернативный способ получения необходимых соотношений возможен, если выражать единицы в массах и светимостях Солнца.

Запишем формулу отношения ускорений свободного падения звезды и Солнца и прологарифмируем ее:

g = \frac{GM}{R^2}, \qquad \to \qquad \frac{g}{g_{\odot}} = \lg \frac{M}{M_{\odot}} - 2\lg \frac{R}{R_{\odot}}

Запишем отношения светимостей через закон Стефана-Больцмана и прологарифмируем ее:

L = 4\pi R^2 \sigma T^4, \qquad \rightarrow \qquad \lg \frac{L}{L_{\odot}} = 2 \lg \frac{R}{R_{\odot}} + 4 \lg \frac{T}{T_{\odot}}

Следовательно, если использовать логарифмические величины из таблицы, выражение будет иметь вид :

\lg \frac{M}{M_{\odot}} = \lg \frac{g}{g_{\odot}} + \lg \frac{L}{L_{\odot}} - 4\lg \frac{T}{T_{\odot}} = \lg g + \lg \frac{L}{L_{\odot}} - 4\lg T - \lg g_{\odot} + 4\lg T_{\odot}

Возьмем значения величин о Солнце из справочных данных, переведем их в систему СГС:

\lg g_{\odot} = \lg \left( \frac{GM_{\odot}}{R_{\odot}^{2}} \right) = \lg \left( \frac{6.67 \cdot 10^{-8} \cdot 2 \cdot 10^{33}}{(6.9 \cdot 10^{10})^{2}} \right) \lg \left( 2.74 \cdot 10^{4} \right) \approx 4.44 \qquad 4 \lg T_{\odot} = 4 \lg \left( 5800 \right) \approx 15.05

И итоговое выражение для расчета будет:

\lg \frac{M}{M_{\odot}} = \lg g + \lg \frac{L}{L_{\odot}} - 4\lg T - 4.44 + 15.05 = \lg g + \lg \frac{L}{L_{\odot}} - 4\lg T + 10.61

номер	lg 𝐿	Gmag	lg 𝑇	lg 𝑔	BPmag-Gmag	lg 𝑀
1	2.50	5.20	4.126	3.979	-0.018	0.585
2	2.37	5.44	4.119	4.06	-0.022	0.564
3	2.34	5.43	4.117	4.076	-0.035	0.558
4	2.29	5.64	4.113	4.097	-0.04	0.545
5	2.22	5.75	4.107	4.129	-0.043	0.531
6	1.97	6.16	4.079	4.213	-0.04	0.477
7	1.93	6.30	4.073	4.223	-0.037	0.471
8	1.82	6.43	4.059	4.245	-0.03	0.439
9	1.76	6.60	4.05	4.255	-0.023	0.425
10	1.63	6.80	4.036	4.267	-0.019	0.363
11	1.63	6.84	4.029	4.271	-0.01	0.395
12	1.63	6.82	4.029	4.272	0.026	0.396
13	1.61	6.81	4.026	4.274	-0.005	0.39
14	1.56	6.90	4.018	4.278	-0.002	0.376
15	1.52	7.00	4.010	4.281	0.005	0.371
16	1.46	7.20	4.001	4.285	0.007	0.351
17	1.41	7.10	3.991	4.288	0.020	0.344
18	1.38	7.29	3.987	4.289	0.025	0.331
19	1.32	7.35	3.976	4.291	0.038	0.317
20	1.29	7.53	3.969	4.292	0.036	0.316
21	1.24	7.55	3.960	4.294	0.050	0.304
22	1.17	7.65	3.947	4.295	0.060	0.287
23	1.12	7.71	3.939	4.297	0.064	0.271
24	1.10	7.75	3.935	4.297	0.066	0.267
25	1.10	7.80	3.934	4.297	0.078	0.271
26	1.08	7.83	3.931	4.298	0.071	0.264
27	1.07	7.73	3.930	4.298	0.076	0.258
28	1.01	7.96	3.919	4.300	0.082	0.244
29	0.98	8.02	3.914	4.301	0.091	0.235

Теперь заметим, что звезды под номерами 22 и больше имеют массу меньше, чем 2 ^⊙ (lg = 0.301), и для построения графика нам не подходят. Так же видно, что звезда 10 скорее всего является звездой фона, так как она лежит ниже главной последовательности и заметно выше в графике зависимости масса-светимость, поэтому эту точку необходимо отбросить.

Итоговая выборка звезд будет выглядеть следующим образом

номер	lg 𝐿	Gmag	lg 𝑇	lg 𝑔	BPmag-Gmag	lg 𝑀
6	1.97	6.16	4.079	4.213	-0.04	0.477
7	1.93	6.30	4.073	4.223	-0.037	0.471
8	1.82	6.43	4.059	4.245	-0.03	0.439
9	1.76	6.60	4.05	4.255	-0.023	0.425
11	1.63	6.84	4.029	4.271	-0.01	0.395
13	1.61	6.81	4.026	4.274	-0.005	0.39
14	1.56	6.90	4.018	4.278	-0.002	0.376
15	1.52	7.00	4.010	4.281	0.005	0.371
16	1.46	7.20	4.001	4.285	0.007	0.351
17	1.41	7.10	3.991	4.288	0.020	0.344
18	1.38	7.29	3.987	4.289	0.025	0.331
19	1.32	7.35	3.976	4.291	0.038	0.317
20	1.29	7.53	3.969	4.292	0.036	0.316
21	1.24	7.55	3.960	4.294	0.050	0.304

Строим график зависимости lg от lg .

Рис. 3: зависимость lg от lg .

Определить значение показателя степени лучше всего при помощи метода наименьших квадратов ( МНК ). Очень важно отметить, что мы строим линейную зависимость вида = +, в которой свободный член зависимости = 0. Построенная зависимость должна содержать точку ( = 1 ⊙; = 1 ⊙), что в логарифмических осях соответствует точке (0; 0).

Получаем значение показателя степени: случай без свободного члена = 4.086. Случай определения зависимости со свободным членом, = 4.134 свободный член = −0.003 Теперь, в качестве факультативного анализа построим графики для случаев, если точки не будут выброшены.

A. Случай, если ни одна точка не выброшена.

Случай определения без свободного члена - = 4.044.

Случай определения зависимости со свободным членом, показатель степени = 4.267, свободный член = −0.041

B. Случай, если выброшены только точки 1-5.

Случай определения без свободного члена - = 3.833.

Случай определения зависимости со свободным членом, показатель степени = 4.161, свободный член = −0.007

C. Случай, если выброшены только точки 10 и 12.

Случай определения без свободного члена - = 4.069.

Случай определения зависимости со свободным членом, показатель степени = 4.274, свободный член = −0.048

D. Случай, если выброшены только точки 22-29.

Случай определения без свободного члена - = 4.055.

Случай определения зависимости со свободным членом, показатель степени = 3.656. свободный член = +0.12

Критерии

Показать критерии

Кри	итерии оценивания.	25
-	Решение, в котором ответ сразу записывается $\gamma = 4$ оценивается в ноль баллов
K1.	Удаление лишних точек из выборки на основании ГР	7
	Построение диаграммы ГР в любом виде
	Удаление 1-5 точек
	Удаление 10 точки
	Удаление 12 точки
K2.	Определение масс звезд из таблицы	9
	Оценка за данный пункт выставляется только при получении верных значений масс. Если массы определены для 2-3 случайно выбранных звезд, оценка за данный пункт не более 2х баллов при верном численном ответе.
K3.	Удаление точек 22-29 из выборки, по критерию массы	2
	Этот балл за считывается, только если массы были определены корректно и удалены все
	точки. В случае любой ошибки оценка за пункт - 0 баллов
K4.	Построение графика $\lg L - \lg M$	2
	Определение показателя степени зависимости $L \sim M^{\gamma}$
	Если массы звезд определены не верно оценка за данный пункт 0 баллов
	Если записан ответ, но не приведено обоснование и решение, или оно не является доста-
	точным, то оценка за пункт - 0 баллов.
	В случае, если часть точек из выборки не удалена, максимальная оценка за данный пункт
	3 балла, при графическом методе определения угла наклона - 2 балла
	Метод МНК
	ИЛИ Графический метод
	учет равенства нулю свободного члена
	Получен численный ответ в диапазоне $4.10 \pm 0.05$

Подборка