ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

марс на диске юпитера

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2016ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_b62397e651298331 ID p_ba58b68111a4f927
Предложить исправление

1 Предположим, Вы стали свидетелем редчайшего явления для Земли: Марс, находясь в точке западной квадратуры, прошел по диаметру диска Юпитера. Сколько времени будет длиться это явление (вместе с частными фазами) в одном пункте нашей планеты? Эксцентриситетом и наклоном орбит планет к плоскости эклиптики, движением наблюдателя за счет осевого вращения Земли пренебречь.

Решение

Показать решение

Изобразим положение Земли, Марса и Юпитера в момент явления. Обе планеты находятся в западной квадратуре, Земля при наблюдении с кажой из них оказывается в наибольшей восточной элонгации. Нам нужно определить угловую скорость Марса и Юпитера в небе Земли. Собственная скорость Земли v 0 v_0 направлена вдоль прямой, соединяющей ее с планетами, и на их угловую скорость не влияет. Скорость Марса v 1 v_1 имеет составляющую u 1 u_1 , перпендикулярную направлению на Землю. Угловая скорость Марса равна

ω 1 = u 1 L 1 = v 1 cos γ 1 R 1 cos γ 1 = v 1 R 1 . \omega_1 = \frac{u_1}{L_1} = \frac{v_1 \cos \gamma_1}{R_1 \cos \gamma_1} = \frac{v_1}{R_1}.

Мы получили, что угловая скорость движения Марса по небу в момент квадратуры равна угловой скорости его движения по орбите. К этому выводу можно было прийти другим путем: Земля должна двигаться с той же угловой скоростью в небе Марса. Коль скоро она находится в наибольшей элонгации, ее угловая скорость равна угловой скорости Солнца. Она, в свою очередь, равна угловой скорости движения Марса по орбите. Аналогичные выводы мы можем сделать для угловой скорости Юпитера в небе Земли ω 2 \omega_2 . Из III закона Кеплера имеем:

ω 1 , 2 = v 1 , 2 R 1 , 2 = ω 0 ( R 0 R 1 , 2 ) 3 / 2 . \omega_{1,2} = \frac{v_{1,2}}{R_{1,2}} = \omega_0 \left(\frac{R_0}{R_{1,2}}\right)^{3/2}.

Здесь ω 0 \omega_0 – угловая скорость движения Земли по орбите (0.986°/сутки). В момент прохождения Марс движется по небу относительно Юпитера с угловой скоростью

( ω 1 − ω 2 ) (\omega_1-\omega_2) и должен пройти дугу, равную сумме угловых диаметров планет ( δ 1 + δ 2 ) (\delta_1+\delta_2) . В случае Юпитера нас интересует экваториальный диаметр, так как экватор Юпитера практически параллелен плоскости его орбиты. Продолжительность явления составит

T = δ 1 + δ 2 ω 1 − ω 2 = d 1 R 1 2 − R 0 2 + d 2 R 2 2 − R 0 2 ω 0 ( ( R 0 R 1 ) 3 / 2 − ( R 0 R 2 ) 3 / 2 ( R 0 R 1 ) 3 / 2 − ( R 0 R 2 ) 3 / 2 ) = ( d 1 / R 0 ) ( a 1 2 − 1 ) − 1 / 2 + ( d 2 / R 0 ) ( a 2 2 − 1 ) − 1 / 2 ω 0 ( a 1 − 3 / 2 − a 2 − 3 / 2 ) . T = \frac{\delta_1 + \delta_2}{\omega_1 - \omega_2} = \frac{\frac{d_1}{\sqrt{R_1^2 - R_0^2}} + \frac{d_2}{\sqrt{R_2^2 - R_0^2}}}{\omega_0 \left( \left(\frac{R_0}{R_1}\right)^{3/2} - \left(\frac{R_0}{R_2}\right)^{3/2}} \right) = \frac{(d_1/R_0)(a_1^2 - 1)^{-1/2} + (d_2/R_0)(a_2^2 - 1)^{-1/2}}{\omega_0(a_1^{-3/2} - a_2^{-3/2})}.

Здесь a 1 a_1 и a 2 a_2 – радиусы орбит Марса и Юпитера в астрономических единицах. Подставляя численные значения, получаем 41 минуту.