9.4 Цифровизация

Автор: М.В. Кузнецов, К.О. Чепурной

Астрономия 9 класс 2025 Теоретическая Есть решение редакция rv_8e93e7e9b5a3ab6d ID p_c08f23a65b042d12

При помощи телескопа с диаметром = 20 см, относительным отверстием = 1/10 и ПЗСматрицей была сделана фотография звезды. В таблице вам указано число отсчетов (фотонов) в каждом пикселе матрицы. На основании этих данных определите следующие величины:

1. фокусное расстояние телескопа;
1. размер одного пикселя ПЗС-матрицы;
1. звездную величину звезды

КПД приемника излучения составляет 86%, потери света в оптической системе — 10%. От звезды нулевой звездной величины поступает 10⁶ фотонов на 1 см² в 1 секунду. Диаметр диска атмосферного дрожания звезды 1.1 ′′. Длительность выдержки фотографии — 10 секунд.

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

Решение

Показать решение

Решение. Относительное отверстие телескопа — это отношение диаметра объектива к его фокусному расстоянию :

A = \frac{D}{F}

Следовательно, = 10 · = 200 см. Это является ответом на первый вопрос задачи.

Перейдем ко второму вопросу. Для этого внимательно рассмотрим данную таблицу.

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

Таблица 1: Количество отчетов. Серым цветом выделена изображение звезды относительно фона.

Изображение звезды занимает на ПЗС-матрице область 3×3 пикселя. Выходит, что изображение звезды занимает больше, чем один пиксель. Причин для этого несколько. Первая состоят в том, что телескоп не строит точечное изображение звезды. Существует разрешающая способность объектива:

\theta=1.22\frac{\lambda}{D}\ (\mathrm{pag}) \text{ или } \theta''=\frac{138}{D\ (\mathrm{mm})}.

Первая формула дает значение разрешающей способности объектива в радианах, и для нахождения числа нужно знать длину волны оптического диапазона. Обычно, в астрономии для длины волны оптического диапазона берут значение = 550 нм или 5500 ˚A. Можно воспользоваться и второй формулой, которая сразу дает значение разрешающей способности в угловых секундах.

Определим величину разрешающей способности объектива данного телескопа, обозначив ее за величину 1.

\theta_1'' = \frac{138}{200} \approx 0.7''.

Вторая причина, почему изображение звезды не является точечным, это качество атмосферы или атмосферное дрожание. Величина этого эффекта дана в условии задачи и равна = 1.1 ′′ . Второй эффект является в полтора раза более сильным.

Поскольку, каждая величина является случайной, то мы можем отнестись к ним, как к случайным ошибкам. Тогда суммарный эффект будет

\theta_{\Sigma}^{\prime\prime} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_a^2} \approx 1.3^{\prime\prime}.

Определим, размер «неточечности» изображения на ПЗС-матрице, которая стоит в фокальной плоскости:

\theta_{\sum} = \frac{l}{F},

где — диаметр пятна в фокальной плоскости телескопа. Тогда

l = \frac{\theta_{\sum}}{206\,265} \cdot F = \frac{1.3 \cdot 2 \cdot 10^6\,\mathrm{MKM}}{206265} = 12.6\,\mathrm{MKM}.

Снова вернемся к таблице с отчетами. Так как значения в каждом пикселе по горизонтали и вертикали на центральной оси звезды примерны равны, то размер звезды с хорошей точностью составляет 3 пикселя. Следовательно, размер одного пикселя

x = \frac{l}{3} = 4.2 \, \mathrm{mkm}.

Теперь перейдем к третьему вопросу задачи. Определим звездную величину звезды.

Казалось бы, нам нужно сложить число всех фотонов, которые попали в 9 выбранных пикселей. Это 7062 фотона. Но следует обратить внимание на то, что за пределами изображения звезды также имеются отсчеты. Этот шум, возникающий в матрице по очень разным причинам, должен быть во всех пикселях, в том числе и пикселях со звездой. Средняя величина фона неба составляет 100 фотонов на пиксель. Следовательно, от звезды мы зарегистрировали ⁰ = 6162 фотона.

Вспомним, что в условии задачи было сказано, что КПД приемника излучения составляет 86%, потери света в оптической системе 10%. Тогда число фотонов, попавших на зеркало телескопа составляет

N = \frac{N_0}{0.86 \cdot 0.9} = 7960 \text{ фотонов.}

Выразим, от чего зависит число фотонов, попадающих на матрицу. Для этого в условии задачи дана еще одна подсказка. А именно, от звезды нулевой звездной величины поступает 10⁶ фотонов на 1 см² в 1 секунду. Чем больше будет выдержка, тем больше фотонов будет зарегистрировано. Чем больше площадь зеркала (а не пикселя), тем больше будет фотонов на приемнике. Запишем зависимость в виде сравнения нашей звезды со звездой нулевой звездной величины. Последнюю будем обозначать индексом – стандарт.

\frac{N_1}{N_s} = \frac{E_1}{E_s} \frac{\Delta t_1 \cdot S_1}{\Delta t_s \cdot S_s},

где ∆ = 1 секунде, а = 1 см² . Выразим отсюда отношение освещенностей

\frac{E_1}{E_s} = \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1}.

Через формулу Погсона получим разность звездных величин

m_1 - m_s = -2.5 \log \left( \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{\Delta t_s \cdot S_s}{\Delta t_1 \cdot S_1} \right)

Подставим значения

m_1 = 0^m - 2.5 \log \left( \frac{7960}{10^6} \cdot \frac{1 \text{cek} \cdot 1 \text{ cm}^2}{10 \text{ cek} \cdot \pi \cdot (20/2)^2 \text{ cm}^2} \right) = 14^m

Критерии

Показать критерии

Критерии оценивания. 15
К1. Определение фокусного расстояния телескопа: формула + значение1 + 1
К2. Определение углового размера изображения звезды3
Вычисление дифракционного размера1
Учет атмосферного диска дрожания 1
Правильный способ учета двух эффектов 1
Если учитывается только один эффект, то за этап не более 1 балла, но остальные оцени ваются в полной мере.
К3. 1 Определение линейного размера «пятна» звезды
К4. Определение линейного размера одного пикселя1
К5. Определение числа фотонов от звезды5
Звезда занимает 9 пикселей 1
Правильный подсчет числа фотонов в пикселях, занятых звездой1
Определение средней величины фона 1
Вычитание среднего уровня фона из отсчетов звезды1
Учет потерь в приемнике и оптической системе 1
К6. 3 Определение звездной величины звезды
Связь отношения освещенностей от числа отсчетов в пикселе 1
Получение выражения для звездной величины 1
𝑚 1 0.2 Итоговый численный ответ с точностью

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

Подборка

9.4 Цифровизация

Решение

Критерии

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103

101	98	97	98	99	100	99
99	98	101	170	100	99	97
97	96	766	777	771	102	100
101	190	795	809	802	202	99
100	102	780	791	771	100	95
104	105	98	196	100	99	97
105	104	101	104	102	104	103