ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.5 СВЕТИТ НЕЗНАКОМАЯ ЗВЕЗДА

Автор: А. В. Веселова

Астрономия9 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_cca8f7c82cfa4e00 ID p_c30ff72afe166e70
Предложить исправление

Вокруг звезды главной последовательности с радиусом 1.4 радиуса Солнца и температурой 6600 К по орбите с большой полуосью 3 а. е. и эксцентриситетом 0.3 обращается небольшая каменистая планета.

  • a) Сколько времени проходит между летним и зимним «солнцестояниями» на планете, если известно, что летнее солнцестояние в северном полушарии планеты наступает ровно в день наибольшего удаления планеты от звезды?

  • b) На поверхности планеты горизонтально на почве на широте 55∘ с. ш. установили датчик, измеряющий принятую энергию излучения, с площадью приемника 0.04 м 2 . Чему равна разность показаний датчика в день летнего и зимнего солнцестояний, если известно, что экватор планеты наклонен к плоскости орбиты на 23∘ ?

Светимость подобных звезд главной последовательности связана с их массами соотношением ∼ 4 .

Решение

Показать решение

Оценим сначала светимость звезды. Воспользуемся законом Стефана-Больцмана:

L = 4 π R 2 σ T 4 = 4 π ⋅ ( 1.4 ⋅ 7 ⋅ 10 8 ) 2 ⋅ 5.67 ⋅ 10 − 8 ⋅ 6600 4 = 1.3 ⋅ 10 27 B t . L = 4\pi R^2 \sigma T^4 = 4\pi \cdot (1.4 \cdot 7 \cdot 10^8)^2 \cdot 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot 6600^4 = 1.3 \cdot 10^{27} \,\mathrm{Bt}.

Поскольку летнее солнцестояние соответствует прохождению апоцентра орбиты, то зимнее солнцестояние по симметрии будет соответствовать прохождению перицентра, тогда интервал между солнцестояниями будет равен половине орбитального периода. Для определения периода необходимо оценить массу звезды. Воспользуемся данной в условии зависимостью, сопоставив параметры звезды с параметрами Солнца. Получим

L L 0 = ( M M 0 ) 4 , ⇒ M = M 0 ⋅ ( L L 0 ) 1 / 4 = M 0 ⋅ ( 1.3 ⋅ 10 27 4 ⋅ 10 26 ) 1 / 4 ≈ 1.34 M 0. \frac{L}{L_0} = \left(\frac{M}{M_0}\right)^4, \quad \Rightarrow \quad M = M_0 \cdot \left(\frac{L}{L_0}\right)^{1/4} = M_0 \cdot \left(\frac{1.3 \cdot 10^{27}}{4 \cdot 10^{26}}\right)^{1/4} \approx 1.34 M_0.

Период обращения находим из третьего закона Кеплера, сопоставив движение планеты и Земли:

( T / T 0 ) 2 ( a / a 0 ) 3 = M 0 M , ⇒ T = T 0 M 0 M ( a a 0 ) 3 = 3 3 1.34 ≈ 4.5 T 0. \frac{(T/T_0)^2}{(a/a_0)^3} = \frac{M_0}{M}, \quad \Rightarrow \quad T = T_0 \sqrt{\frac{M_0}{M}} \sqrt{\left(\frac{a}{a_0}\right)^3} = \sqrt{\frac{3^3}{1.34}} \approx 4.5T_0.

Отсюда интервал времени между солнцестояниями равен 2.25 земного года.

В день летнего солнцестояния планета находится на наибольшем удалении от звезды, равном = (1 + ) = 3.9 а. е. Количество энергии от звезды, падающей нормально на квадратный метр площади, составляет

E α = L 4 π r α 2 = 3.04 ⋅ 10 2 B r / m 2 . E_{\alpha} = \frac{L}{4\pi r_{\alpha}^2} = 3.04 \cdot 10^2 \,\mathrm{Br/m^2}.

Высота звезды в полдень на планете в день летнего солнцестояния на широте 55∘ с. ш. равна

h α = 90 ∘ − φ + δ = 90 ∘ − 55 ∘ + 23 ∘ = 58 ∘ . h_{\alpha} = 90^{\circ} - \varphi + \delta = 90^{\circ} - 55^{\circ} + 23^{\circ} = 58^{\circ}.

Тогда зенитное расстояние равно = 90∘ − 58∘ = 32∘ . Значит, за секунду на поверхность

датчика будет попадать энергия, равная

J 1 = E α S cos z α = 3 ⋅ 10 2 ⋅ 0.04 ⋅ cos 32 ∘ = 10 Дж . J_1 = E_{\alpha} S \cos z_{\alpha} = 3 \cdot 10^2 \cdot 0.04 \cdot \cos 32^{\circ} = 10 \, \text{Дж}.

В день зимнего солнцестояния планета находится на наименьшем удалении от звезды, равном = (1 − ) = 2.1 а. е. Количество энергии от звезды, падающей нормально на квадратный метр площади, составляет

E π = L 4 π r π 2 = 1.05 ⋅ 10 3 B t / m 2 . E_{\pi} = \frac{L}{4\pi r_{\pi}^2} = 1.05 \cdot 10^3 \,\mathrm{Bt/m^2}.

Высота звезды в полдень на планете в день зимнего солнцестояния на широте 55о с.ш. равна

h π = 90 ∘ − φ + δ = 90 ∘ − 55 ∘ − 23 ∘ = 12 ∘ . h_{\pi} = 90^{\circ} - \varphi + \delta = 90^{\circ} - 55^{\circ} - 23^{\circ} = 12^{\circ}.

Зенитное расстояние равно = 90∘ −12∘ = 78∘ , тогда за секунду на поверхность датчика будет попадать энергия, равная

J 2 = E π S cos z π = 1.05 ⋅ 10 3 ⋅ 0.04 ⋅ cos 78 ∘ = 8.7 Дж . J_2 = E_{\pi} S \cos z_{\pi} = 1.05 \cdot 10^3 \cdot 0.04 \cdot \cos 78^{\circ} = 8.7 \, \text{Дж}.

Разность показаний датчика оказывается весьма малой, около 1.3 Дж.