ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.1 BO BCE HEEO

АстрономияКлассы неизвестны2021ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_4e015fd463b44384 ID p_c80a2dec3ee74514
Предложить исправление

В небе Земли появилась яркая комета с тонким прямым газовым хвостом длиной в 120°. Ее ядро располагалось на небе в 30° от Солнца. Определите максимальное возможное пространственное расстояние от Земли до ядра кометы. Орбиту Земли считать круговой, а хвост кометы – направленным в пространстве точно от Солнца.

Решение

Показать решение

Прямой газовый хвост кометы направлен на небе в сторону, противоположную Солнцу.

Пусть γ \gamma – длина хвоста кометы в небе Земли, β \beta – угловое расстояние между ядром кометы и Солнцем. Обозначим гелиоцентрический угол между направлениями на Землю и комету как α \alpha . Тогда, каким бы длинным не был хвост, на небе Земли он не может зайти дальше направления, показанного на рисунке стрелкой. Для его видимой длины в небе Земли справедливо неравенство:

γ < γ MAX = 180 ∘ − α − β . tag 1 \gamma < \gamma_{\text{MAX}} = 180^{\circ} - \alpha - \beta. \tag{1}

Величины углов β \beta и γ \gamma нам известны, они равны 30 ∘ 30^\circ и 120 ∘ 120^\circ соответственно. Отсюда мы имеем:

α ≤ 180 ∘ − γ − β = 30 ∘ . tag 2 \alpha \le 180^{\circ} - \gamma - \beta = 30^{\circ}. \tag{2}

Обозначим радиус земной орбиты как r. Из рисунка мы видим, что расстояние от Земли до ядра кометы d при фиксированном угле β \beta будет тем большим, чем больше угол α \alpha . Искомое максимальное расстояние будет достигнуто, когда угол а составит ровно 30 ∘ 30^{\circ} . Тогда из теоремы синусов в треугольнике "Земля-ядро кометы-Солнце" мы получаем выражение для расстояния до ядра кометы:

d ≤ r sin α sin ( α + β ) ≤ r 1 2 cos β = 0.58 a . e . tag 3 d \le r \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \le r \frac{1}{2\cos \beta} = 0.58 \ a.e. \tag{3}

Последнее неравенство получено с учетом того, что α ≤ β \alpha \le \beta . Его можно получить и напрямую, учитывая, что в случае максимального угла α \alpha треугольник "Земля-ядро кометы-Солнце" оказывается равнобедренным.

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап — 6 баллов: формирование условия на угол α \alpha , который может быть определен как гелиоцентрический угол между направлением на Землю и комету, так и как геоцентрический угол между направлением на конец хвоста кометы и противосолнечную точку неба.

2 этап – 4 балла: определение максимального расстояния от Земли до ядра кометы. Этап может быть выполнен как решением равнобедренного треугольника, так и более общим решением теоремы синусов в общем виде для углов α (в Солнце) и α+β (в комете). Требуемая точность ответа – 0.02 а.е (ответ 0.6 а.е. может быть засчитан). При ошибках до 0.05 а.е. оценка снижается на 2 балла, при ошибках до 0.1 а.е. – на 3 балла.

Комментарий: два этапа в решении участника могут быть нераздельными, если он формулирует условие на расстояние d, минуя запись неравенства для угла α в явном виде. Такие решения оцениваются в полной мере.