СЕРП МАЛЫЙ И СЕРП БОЛЬШОЙ

Автор: О.С. Угольникое

АстрономияКлассы неизвестны2019 Теоретическая Есть решение редакция rv_77f892ff16c8645e ID p_c8cdc7d3610c3d9c

2. Условие. Луна и Венера вступили на небе Земли в тесное соединение, обе при этом видны как тонкие серпы. У кого из них фаза больше и во сколько раз? Атмосферные эффекты увеличения фазы Венеры не учитывать.

Решение

Показать решение

1. Решение. Как известно, фаза сферического объекта (доля освещенной части видимого диска или, что тоже самое, его диаметра, перпендикулярного терминатору) равна

F = \frac{1 + \cos \varphi}{2},

где $\phi$ - угол с вершиной в объекте, образованный направлениями на Солнце и Землю (фазовый угол). Малая фаза может быть у объекта, расположенного между Солнцем и Землей. Положение этого объекта показано на рисунке.

По условию задачи, Венера и Луна располагаются рядом друг с другом, то есть их угловое удаление от Солнца $\varepsilon$ одинаково и невелико. Обозначим расстояние от Солнца до Земли как R, до Венеры (или Луны) как r. Тогда из теоремы синусов для фазового угла имеем:

\sin \varphi = \sin \varepsilon \, \frac{R}{r}.

Дополнение угла ф до 180° - малая величина. Для таких углов справедливо:

\cos \varphi = -\sqrt{1 - \sin^2 \varphi} \approx -1 + \frac{\sin^2 \varphi}{2} = -1 + \frac{\sin^2 \varepsilon}{2} \frac{R^2}{r^2}.

Фаза объекта составляет

F = \frac{\sin^2 \varepsilon}{4} \cdot \frac{R^2}{r^2}.

Для Луны, расположенной рядом с Землей, отношение $(R/r_{\rm M})^2$ фактически равно единице (вблизи новолуния оно равно 1.005), а для Венеры отношение $(R/r_{\rm V})^2$ больше единицы. В итоге, фаза Венеры будет больше фазы Луны, и соответствующее отношение составит:

\frac{F_{\rm V}}{F_{\rm M}} \approx \frac{R^2}{r_{\rm V}^2} = 1.91.

Учет конечности расстояния между Землей и Луной уменьшает эту величину до 1.90. Последнее тесное сближение Луны и Венеры в малых фазах (0.0165 и 0.0314 соответственно), видимое в Европейской части России, произошло вечером 2 января 2014 года. Еще раньше, 21 мая 2004 года, Луна в фазе 0.05 покрыла Венеру в фазе 0.10, явление наблюдалось на светлом вечернем небе на значительной части нашей страны.

Критерии

Показать критерии

Система оценивания. Для решения задания нужно выполнить несколько его основных этапов, последовательность которых может быть произвольной.

Этап 1 - 2 балла. Связь фазы и фазового угла.

Как известно, у частично освещенного диска планеты (не в затмении) величины фазы, определяемые через долю освещенного диаметра и освещенной площади, совпадают. Поэтому участник может использовать любое определение фазы, что не влияет на оценку. Этап засчитывается в случае математически правильной записи соотношения. Участник может брать формулу для связи фазы и фазового угла как известную, не выводя ее, этап в этом случае также засчитывается.

При ошибочном выполнении этапа (неверной формуле связи) этап не засчитывается. Однако, если на последующих этапах из формулы получается правильное приближение для случая малых фаз ( $\sim R^2/r^2$ ), то последующие этапы засчитываются. При иных приближениях (например, $\sim R/r$ ) оценка за следующий этап уменьшается вдвое, последний этап не засчитывается.

Этап 2 - 4 балла. Выражение для фазы в приближении тонкого серпа (объект вблизи линии, соединяющей Солнце и Землю).

В этом выражении наиболее важной является степень зависимости от соотношения расстояний R/r (sin $\phi \sim R/r$ , (cos $\phi + 1$ ) $\sim R^2/r^2$ ). В качестве фазового угла участник может использовать его дополнение до 180 градусов с соответствующей коррекцией формул. Если участник пользуется иной терминологией и обозначениями при решении, его метод необходимо проверить на указанные свойства пропорциональности. В случае их выполнения данный этап оценивается минимум в 2 балла (еще 2 балла - за правильное доказательство пропорциональности и ее коэффициенты). При иной степени оценка за выполнение этапа уменьшается вдвое, последующий этап не засчитывается.

Этап 3 - 2 балла. Вычисление окончательного ответа.

Засчитывается только в случае правильного ответа (с точностью отношения фаз до 10%) при правильном построении решения. Участники могут учесть разность расстояний от Солнца до Земли и Луны, которое изменит ответ с 1.91 до 1.90, но не повлияет на оценку.

Вероятная ошибка при решении: Участник олимпиады может интерпретировать условие, как попадание Солнца, Луны и Венеры на одну линию. Это является грубой ошибкой, при которой итоговая оценка составляет 1 балл при полностью верных (для описанного случая) вычислений и 0 баллов - во всех остальных случаях.

Вероятная ошибка при решении: итоговый ответ каким-либо образом зависит от линейных размеров Луны или Венеры. К этому же случаю относится ответ, в который радиусы Луны и Венеры не входят в явном виде, но который бы численно изменился, если бы физические размеры Луны и Венеры были бы иными. Такое решение не может быть оценено выше 1 балла.

Вероятная ошибка при решении: вместо соотношения фаз участник вычисляет соотношение видимых диаметров Луны и Венеры. Итоговая оценка составляет 0 баллов.

Подборка