ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

4 ТОНКИЙ БАЛАНС

Автор: О.С. Угольников

Астрономия10 класс2024ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_9f84eeb86eee4c71 ID p_c8d3a9984f4f89c0
Предложить исправление

Слабо пульсирующая переменная звезда изменяет свою звездную величину по синусоидальному закону с периодом τ \tau , разница болометрических звездных величин в минимуме и максимуме равна Δ m \Delta m . Черная теплопроводная сферическая пылинка радиусом r и плотностью ρ \rho находится вдали от поверхности звезды. Она не вращается вокруг звезды, а лишь совершает колебательные движения вдоль направления на звезду, при этом ее средние за период колебаний расстояние до звезды R и температура T остаются постоянными. Определите длину отрезка, который описывает пылинка в ходе колебаний. Считать величину изменений блеска Δ m \Delta m и период колебаний τ \tau малыми ( Δ m < < 1 \Delta m <<1 , период много меньше орбитального периода, соответствующего расстоянию R). Пылинка взаимодействует с излучением по законам геометрической оптики.

Решение

Показать решение

На пылинку действуют две силы: притяжение со стороны звезды и давление ее излучения. Запишем выражения для этих сил для произвольного расстояния от звезды L:

F G = 4 π G M ρ r 3 3 L 2 ; F E = J ⋅ π r 2 4 π c L 2 = J ⋅ r 2 4 c L 2 . F_{\rm G} = \frac{4\pi GM \rho r^3}{3L^2}; \quad F_{\rm E} = \frac{J \cdot \pi r^2}{4\pi cL^2} = \frac{J \cdot r^2}{4cL^2}.

Здесь M — масса звезды, которая нам неизвестна. Во втором случае мы учли, что сила давления излучения есть плотность потока энергии, деленная на скорость света. Так как пылинка черная, это излучение не отражается напрямую, а собственное тепловое излучение теплопроводной пылинки изотропно и не влияет на ее движение. Обе силы убывают обратно пропорционально квадрату расстояния до звезды, их соотношение не меняется с расстоянием. Пылинка находится вблизи положения равновесия, то есть средние значения этих сил за период колебаний совпадают:

4 π G M ρ r 3 3 = J 0 ⋅ r 2 4 c , \frac{4\pi GM\rho r^3}{3} = \frac{J_0 \cdot r^2}{4c},

и для средней за период светимости мы имеем:

J 0 = 16 π c G M ρ r 3 . J_0 = \frac{16\pi c GM \rho r}{3}.

Звездная величина (абсолютная или видимая на фиксированном расстоянии) звезды меняется со временем следующим образом:

m = m 0 + Δ m 2 ⋅ sin 2 π t τ . m = m_0 + \frac{\Delta m}{2} \cdot \sin \frac{2\pi t}{\tau}.

По условию задачи величина Δ m \Delta m мала, поэтому мы можем записать выражение для изменения светимости звезды:

J = c o n s t ⋅ 10 − 0.4 m = J 0 ⋅ 10 − 0.4 Δ m 2 ⋅ sin 2 π t τ ≈ J 0 ⋅ ( 1 − ln 10 5 Δ m ⋅ sin 2 π t τ ) . J = const \cdot 10^{-0.4m} = J_0 \cdot 10^{-0.4\frac{\Delta m}{2} \cdot \sin\frac{2\pi t}{\tau}} \approx J_0 \cdot \left(1 - \frac{\ln 10}{5} \Delta m \cdot \sin\frac{2\pi t}{\tau}\right).

Равнодействующая двух сил составит:

F = F E − F G = J ⋅ r 2 4 c L 2 − 4 π G M ρ r 3 3 L 2 = J 0 ⋅ r 2 4 c L 2 + ln 10 5 J 0 ⋅ r 2 Δ m 4 c L 2 sin 2 π t τ − 4 π G M ρ r 3 3 L 2 . F = F_{\rm E} - F_{\rm G} = \frac{J \cdot r^2}{4cL^2} - \frac{4\pi GM\rho r^3}{3L^2} = \frac{J_0 \cdot r^2}{4cL^2} + \frac{\ln 10}{5} \frac{J_0 \cdot r^2 \Delta m}{4cL^2} \sin \frac{2\pi t}{\tau} - \frac{4\pi GM\rho r^3}{3L^2}.

Первое и третье слагаемое компенсируют друг друга, и в итоге:

F = ln 10 5 J 0 ⋅ r 2 Δ m 4 c L 2 sin 2 π t τ . F = \frac{\ln 10}{5} \frac{J_0 \cdot r^2 \Delta m}{4cL^2} \sin \frac{2\pi t}{\tau}.

Период колебаний и разность звездных величин Δ m \Delta m малы, и пылинка не успевает существенно изменить свое расстояние до звезды. Поэтому мы можем считать, что в этой формуле L ≈ R L \approx R , и пылинка движется под действием гармонической силы. Но нам неизвестна величина J 0 J_0 . Чтобы определить ее, запишем уравнение теплового баланса для пылинки:

J 0 4 π R 2 ⋅ π r 2 = 4 π σ r 2 T 4 ; J 0 4 R 2 = 4 π σ T 4. \frac{J_0}{4\pi R^2} \cdot \pi \, r^2 = 4\pi\sigma \, r^2 T^4; \quad \frac{J_0}{4R^2} = 4\pi\sigma T^4.

Подставим последнее выражение в формулу для равнодействующей силы с учетом L=R:

F = ln 10 5 ⋅ 4 π σ T 4 ⋅ r 2 Δ m c sin 2 π t τ . F = \frac{\ln 10}{5} \cdot \frac{4\pi\sigma T^4 \cdot r^2 \Delta m}{c} \sin \frac{2\pi t}{\tau}.

Ускорение пылинки под действием этой силы составит

a = 3 F 4 π ρ r 3 = ln 10 5 ⋅ 3 σ T 4 ⋅ Δ m c ρ r sin 2 π t τ = a 0 sin ω t . a = \frac{3F}{4\pi \rho r^3} = \frac{\ln 10}{5} \cdot \frac{3\sigma T^4 \cdot \Delta m}{c\rho r} \sin \frac{2\pi t}{\tau} = a_0 \sin \omega t.

Угловая скорость, соответствующая колебаниям, есть ω = 2 π / τ \omega = 2\pi/\tau . Искомая длина отрезка есть удвоенная амплитуда колебаний:

d = 2 a 0 ω 2 = ln 10 5 ⋅ 6 σ T 4 ⋅ Δ m τ 2 4 π 2 c ρ r = 3 ln 10 ⋅ Δ m 10 π 2 ⋅ σ T 4 ⋅ τ 2 c ρ r . d = \frac{2a_0}{\omega^2} = \frac{\ln 10}{5} \cdot \frac{6\sigma T^4 \cdot \Delta m \tau^2}{4\pi^2 c\rho r} = \frac{3\ln 10 \cdot \Delta m}{10\pi^2} \cdot \frac{\sigma T^4 \cdot \tau^2}{c\rho r}.

Обратим внимание, что в итоговое выражение не входит расстояние от пылинки до звезды R.

4. Система оценивания. Оценка является суммой двух основных составляющих — качество решения и ответа. Ошибка, сделанная на каком-либо этапе решения (часть 1) не влияет на оценки за другие этапы решения, но может сказаться на оценке за часть 2, если она приводит к ошибке в ответе. Максимальная оценка за все решение составляет 10 баллов.