Задача без названия

Решение. Мы сразу можем обратить внимание, что число потенциальных наблюдателей сверхновой за 100 суток уменьшилось не столь значительно. Действительно, для объектов с не очень большим радиусом видимости, на котором поглощение света не играет определяющей роли, ослабление источника на 1m (в 100.4 раз) означает уменьшение этого самого радиуса видимости в 100.2 ≈ 1.6 раз. Если распределение наблюдателей однородно, то их число уменьшится в 100.6 ≈ 4 раза. Мы можем предположить, что радиус видимости больше толщины диска галактики, и тогда число наблюдателей пропорционально квадрату, а не кубу радиуса видимости. Но и в этом случае ослабление источника на 1m приведет к уменьшению числа наблюдателей в 100.4 ≈ 2.5 раза. Итак, в описанной в условии картине существенную роль играет поглощение света, что естественно для столь ярких и видимых с большого расстояния источников, как сверхновые звезды.

Сверхновая располагается в плоскости симметрии диска. Мы можем указать, что радиус видимости существенно больше половины толщины диска (150 пк), так как на таком масштабе поглощение света составляет всего 0.3m и не сказалось бы столь сильно на изменении численности наблюдателей. В дальнейшем мы сможем убедиться в правильности этого вывода. Итак, множество наблюдателей фактически образуют диск той же толщины, что и сама галактика, а их число N пропорционально r 2 , где r – расстояние, с которого сверхновая будет видна на пределе возможностей человеческого зрения.

Закрыть

Пусть M1 и M2 – абсолютные звездные величины сверхновой в начале и конце 100-дневного интервала, описанного в условии задачи, а r1 и r2 – соответствующие предельные расстояния, с которых сверхновая может быть видна невооруженным глазом. Обозначив предельную звездную величину для невооруженного глаза как m, запишем:

Здесь расстояния $r_1$ и $r_2$ выражается в парсеках, а величина поглощения E равна $0.002^{\rm m}$ /пк. Из условия задачи нам также известно, что

Вычтем из первого выражения в (1) второе и учтем соотношения (2):

Отсюда мы получаем разность радиусов видимости:

Из формулы (4) и второго соотношения в (2) мы получаем сами расстояния: $r_1 \approx 1500$ пк, $r_2 \approx 1200$ пк. Мы видим, что это существенно больше полутолщины диска, но меньше радиуса галактики, что оправдывает упрощенную геометрию области видимости (рисунок) и второе соотношение формулы (2). Нам остается определить абсолютные звездные величины сверхновой в эти моменты:

Здесь мы взяли предельную звездную величину для невооруженного глаза m=6.

Возвращаясь к началу решения, отметим, что если бы мы предположили, что область видимости сверхновой меньше полутолщины диска Галактики, и $K=(r_1/r_2)^3$ , коэффициент в формуле (4) вместо 2.5 составлял бы 5/3, разница расстояний $r_1$ – $r_2$ была бы равна 350 пк, а сами расстояния — 2750 и 2400 пк. Это существенно больше толщины диска, что приводит нас к противоречию со сделанным предположением.

Система оценивания, максимум – 10 баллов.

Оценка за все решение определяется правильностью используемого метода. При выполнении, аналогичном описанному выше, решение разделяется на несколько этапов:

$\frac{1}{2}$ этап — $\frac{4}{2}$ балла: обоснованный вывод, что число наблюдающих сверхновую цивилизаций пропорционально второй степени предельного расстояния до нее. Предположение должно быть не только сделано, но и проверено на основе полученных в последующих этапах предельных расстояниях видимости сверхновой. Если это предположение не делается и не обосновывается в явном виде, но фактически используется в решении, этап оценивается в $\frac{3}{2}$ балла, последующие этапы оцениваются в полной мере. При указании иной связи (например, пропорциональность кубу расстояния), этап не засчитывается, остальные этапы оцениваются в полной мере (см. далее). Подробные объяснения, приведенные выше в начале решения, не являются обязательными

2 этап — 4 балла: определение предельных расстояний видимости сверхновой в два момента времени в численным или формульном виде. Этап может выполняться несколько иным способом: участник может получить отношение расстояний из условия числа наблюдаемых

цивилизаций ( $r_1/r_2$ =1.25), далее указать, что при отсутствии поглощения модули расстояний отличались бы примерно на $0.4^{\rm m}$ , следовательно, оставшиеся $0.6^{\rm m}$ определяются поглощением, из чего получаем разность расстояний в 0.6/0.002=300 пк. Такой подход полностью эквивалентен описанному выше. Требуемая точность определения итоговых расстояний (не разницы между ними!) составляет 100 пк, при погрешности до 300 пк, вызванной только арифметическими ошибками, оценка за этап снижается на 1 балл.

Если участник считает количество цивилизаций пропорциональным кубу предельного расстояния (фактически, не выполнив предыдущий этап решения), то в формуле (4) коэффициент 2.5 меняется на 5/3, меняется и показатель степени во втором соотношении формулы (2). Величина разности расстояний оказывается равной 350 пк, сами расстояния равны 2750 и 2400 пк, что существенно больше толщины диска Галактики. В этом случае этап засчитывается полностью при условии правильных вычислений с теми же требованиями по точности, что описаны выше. Однако, при этом участник не получает баллы за предыдущий этап решения.

Вероятная ошибка при решении: коэффициент E считается равным $2^{m}$ /пк, то есть завышается в 1000 раз. В этом случае расстояние до сверхновой оказывается порядка 1 пк, а ее светимость (см. следующий этап решения) — очень слабой. Абсурдность такого ответа должна быть очевидной для участников. Если участник оперирует и далее с такими ответами, не указывая на их неестественность, второй и третий этап решения не засчитываются полностью. Если абсурдность ответа указывается, но не исправляется, второй и третий этапы засчитываются наполовину.

Вероятное дополнение к решению: участник может попытаться учесть движение звезд и планет в галактике за то время, пока свет от сверхновой достигнет их. Ввиду того, что скорость движения звезд значительно меньше скорости распространения света, это не должно сказываться на общем количестве наблюдателей сверхновой. Оценка за решение не меняется, если участник получает в итоге такой вывод или учет движения не изменяет его численный ответ. Однако, если учет движения приводит к значимому отличию ответа, оценка за этап уменьшается на 1 балл при итоговом эффекте для предельного расстояния более 10%, на 2 балла – более 30% и на 3 балла – более 50%.

3 этап — 2 балла: определение абсолютной звездной величины сверхновой в начале и конце 100-дневного интервала. Участник может определить по формуле (5) только одну из величин, указав, что другая отличается на единицу. Этап засчитывается, если найдена только одна из величин, при условии верного расчета и указания, какая из двух величин найдена. Требуемая точность — $1^m$ , при ошибке до $2^m$ за этап выставляется 1 балл.

При предположении $N\sim r^3$ , описанном выше, абсолютные звездные величины составляют около $-12^{\rm m}$ и $-11^{\rm m}$ . Так как эти величины вполне возможны для сверхновых на определенной стадии, этап при условии точного выполнения также засчитывается с теми же требованиями по точности. В итоге, полностью правильное решение в предположении $N\sim r^3$ (фактически, предположении большой толщины диска галактики) оценивается в 6 баллов (0+4+2).

Участник может предположить иную предельную звездную величину для человеческого глаза, от $5^{\rm m}$ до $7^{\rm m}$ . Соответствующим образом изменится и ответ в задаче. Это не является ошибкой и на оценку не влияет.

Вероятная ошибка при решении: неверная зависимость звездной величины от расстояния при наличии поглощения (ошибки не в коэффициентах, а в самом характере зависимости). В этом случае засчитывается только первый этап решения (при условии его выполнения).