ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ЗВЕЗДЫ-БЕГЛЕЦЫ

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2017ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_bc3d950489168296 ID p_cf2b7448e964a411
Предложить исправление

В таблице приведены координаты и данные о собственном движении двух звезд. Известно, что эти звезды образовались совместно, после чего разлетелись в противоположных направлениях с равными скоростями. Исходя из этого, определите, сколько времени прошло с момента их разлета. Разницей прямых восхождений, собственным движением звезд по прямому восхождению, а также их гравитационным взаимодействием (взаимным и с другими объектами) пренебречь. Считать, что Солнце неподвижно относительно центра масс системы из этих звезд. Что Вы можете сказать о месте образования звезд?

Звездаαδμα, 0.001″/годμδ, 0.001″/год
AE Возничего05.5ч+34.3°~0+44.7
μ
Голубя		05.5ч–32.3°~0–22.2

Решение

Показать решение

В соответствии с условием задачи, звезды имеют сходное прямое восхождение и движутся на небе в противоположные стороны вдоль одного круга склонения. Самый простой, но при этом не вполне точный способ определить время с момента разлета звезд — предположить, что собственное движение за это время не менялось. Тогда решение находится элементарно:

T ͠ = δ 2 − δ 1 μ 2 − μ 1 = 1 O 0.001 ″  лет = 3.6 млн лет. \widetilde{T} = \frac{\delta_2 - \delta_1}{\mu_2 - \mu_1} = \frac{1^O}{0.001''} \text{ лет = 3.6 млн лет.}

Однако, сделанное при этом предположение, вообще говоря, противоречит условию задачи. Очевидно, что в момент разлета звезды имели собственные движения, равные по модулю и противоположные по знаку. Как видно из таблицы, в настоящий момент это не так, следовательно, собственные движения успели измениться. Изобразим положение звезд на рисунке в плоскости, содержащей Солнце и линию, соединяющую звезды:

По условию задачи, звезды разлетаются в пространстве вдоль одной прямой со скоростями v и -v и к моменту наблюдений разошлись на расстояние 2vT, где T – возраст звезд. Обозначим через r 1 , 2 r_{1,2} текущие расстояния до звезд. Собственные движения (угловые скорости) звезд равны

μ 1 = v sin θ 1 r 1 ; μ 2 = − v sin θ 2 r 2 . \mu_1 = \frac{v\sin\theta_1}{r_1}; \quad \mu_2 = -\frac{v\sin\theta_2}{r_2}.

Рассмотрим треугольник "Солнце – AE Aur – μ Col". Из теоремы синусов имеем:

2 v T sin ( δ 1 − δ 2 ) = r 1 sin θ 2 = r 2 sin θ 1 . \frac{2vT}{\sin(\delta_1 - \delta_2)} = \frac{r_1}{\sin \theta_2} = \frac{r_2}{\sin \theta_1}.

Подставим в последнюю формулу выражение для синусов углов из определения собственного движения:

2 v T sin ( δ 1 − δ 2 ) = − v r 1 r 2 μ 2 = v r 2 r 1 μ 1 . \frac{2vT}{\sin(\delta_1 - \delta_2)} = -\frac{vr_1}{r_2\mu_2} = \frac{vr_2}{r_1\mu_1}.

Возведем в квадрат первое из трех равных выражений и перемножим два других:

4 v 2 T 2 sin 2 ( δ 1 − δ 2 ) = − v 2 μ 1 μ 2 . \frac{4v^2T^2}{\sin^2(\delta_1 - \delta_2)} = -\frac{v^2}{\mu_1\mu_2}.

Отсюда получаем выражение для интервала времени с момента разлета звезд:

T = sin ( δ 1 − δ 2 ) 2 − μ 1 μ 2 = 3.0  млн лет. T = \frac{\sin(\delta_1 - \delta_2)}{2\sqrt{-\mu_1\mu_2}} = 3.0 \text{ млн лет.}

Знак "-" под квадратным корнем не должен смущать, так как собственные движения звезд имеют разные знаки. Звезды очень молодые, что естественно, так как обе являются горячими сверхгигантами со светимостью в несколько десятков тысяч светимостей Солнца. По координатам мы можем видеть, что точка их рождения находится вблизи туманности Ориона. Данные две звезды являют собой классический пример так называемых "звездбеглецов", получивших сильные противоположные импульсы в результате взаимодействия с другими звездами этой ассоциации, вероятнее всего – с компонентами двойной системы в Ориона.