ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9 ЭКЗОАЛЬБЕДО

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2019Есть решение редакция rv_506a6160d15b77b4 ID p_d7a83459d39c35bc
Предложить исправление

На графике показано изменение видимой яркости затменной системы HD 189733 из звезды с планетой (статья Snellen I.A.G., de Mooij E.J.W., Albrecht S., Nature 459, 543, 2009) в двух масштабах. Виден как главный, так и вторичный минимум. Исходя из этого, оцените альбедо планеты и наклон ее орбиты к лучу зрения. Орбиту планеты считать круговой, потемнением звезды к краю пренебречь.

Решение

Показать решение

По нижнему графику мы видим, что в момент затмения звездой планеты (орбитальная фаза 0.5) общая звездная величина система такая же, как перед началом или после окончания главного минимума, когда планета имеет малую фазу и не отражает свет звезды. Из этого мы можем сделать вывод, что затмения в системе полные или близки к полным. В то же время, основной минимум практически не имеет плато, характерное для полной фазы (особенно, центральной). Поэтому, учитывая оценочный характер задачи, мы можем считать, что затмения в системе полные и касательные, то есть диски планеты и звезды во время середины затмения касаются друг друга изнутри.

Обозначим радиусы звезды и планеты как R и r. По верхнему графику мы видим, что потемнение в главном минимуме η = Δ J / J = 0.023 \eta = \Delta J/J = 0.023 . В пренебрежении потемнением диска звезды к краю имеем

η = r 2 R 2 ; r = R η = 0.15 R . \eta = \frac{r^2}{R^2}; \quad r = R\sqrt{\eta} = 0.15R.

Определим теперь, какой путь относительно звезды преодолевает планета во время основного затмения (с частными фазами). По рисунку мы видим, что этот путь составляет

L = 2 ( R + r ) 2 − ( R − r ) 2 = 4 R r = 4 R η 1 / 4 ≈ 1.6 R . L = 2\sqrt{(R+r)^2 - (R-r)^2} = 4\sqrt{Rr} = 4R\eta^{1/4} \approx 1.6R.

По графику мы видим, что затмение охватывает интервал орбитальных фаз ± f \pm f , где f ≈ 0.03 f \approx 0.03 . Отношение этого интервала к полному орбитальному циклу (единичный интервал фаз) есть отношение пути L к длине круговой орбиты планеты:

2 f = L 2 π a . 2f = \frac{L}{2\pi a}.

Здесь a – радиус орбиты планеты, который мы можем выразить следующим образом:

a = L 4 π f = R η 1 / 4 π f ≈ 4 R . a = \frac{L}{4\pi f} = \frac{R \eta^{1/4}}{\pi f} \approx 4R.

Полученное соотношение позволяет ответить на вопросы условия задачи. Исходя из касательного затмения, получаем оценку угла наклона плоскости орбиты к лучу зрения:

i = arcsin R − r a = arcsin ( 1 − η ) π f η 1 / 4 = 12 ∘ . i = \arcsin \frac{R - r}{a} = \arcsin \frac{(1 - \sqrt{\eta})\pi f}{\eta^{1/4}} = 12^{\circ}.

Обозначив светимость звезды через B, а сферическое альбедо планеты через A, запишем выражение для светимости планеты:

b = B 4 π a 2 ⋅ A ⋅ π r 2. b = \frac{B}{4\pi a^2} \cdot A \cdot \pi r^2.

Для наибольшего правдоподобия будем считать, что планета отражает свет неравномерно, и в направлении звезды отражается вдвое больше света, чем в среднем по небесной сфере. Тогда видимая яркость звезды и планеты на Земле (на расстоянии D) будут равны

J = B 4 π D 2 ; j = b 2 π D 2 = B A r 2 2 a 2 . J = \frac{B}{4\pi D^2}; \quad j = \frac{b}{2\pi D^2} = B \frac{Ar^2}{2a^2}.

По графику мы видим, что отношение κ = j / J \kappa = j/J составляет 10 − 4 10^{-4} . Мы получаем оценку альбедо планеты:

A = 2 κ a 2 r 2 = 2 κ π 2 f 2 η = 0.15. A = \frac{2\kappa a^2}{r^2} = \frac{2\kappa}{\pi^2 f^2 \sqrt{\eta}} = 0.15.

Предположение равномерного отражения света планетой во все стороны приведет нас к вдвое большему значению альбедо - около 0.3.

Отметим, что реальное альбедо планеты, в соответствии с данными упомянутой в условии статьи, составляет 0.20 или менее. Также звезда характеризуется заметным потемнением диска к краю, которое замывает эффект плато на кривой блеска, возникающее при полном вступлении планеты на диск звезды. В решении задачи мы это не учитывали, поэтому получили несколько больший угол наклона орбиты к лучу зрения ( 12 ∘ ) (12^{\circ}) , чем на самом деле (около 5 ∘ 5^{\circ} ).