ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.3 КУБОДЕТЕКТОР

Автор: О.С. Угольников

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_a73c420b9843918a ID p_d7c7e829c5055c1a
Предложить исправление

В жесткой гамма-области, где невозможно построение телескопа как оптической схемы, направление на источник иногда определяется по отношению потоков энергии от него через площадки детектора, по-разному ориентированные в пространстве. В космос запускается гамма-детектор, имеющий форму куба, каждая из шести граней которого имеет одинаковую чувствительность и фиксирует поток энергии через свою площадь с внешней стороны куба. Она это делает с точностью 3%, то есть при истинном потоке J измеренный с равной вероятностью будет лежать в интервале от 0.97J до 1.03J. Определите максимально возможную угловую «площадь ошибок» (в квадратных градусах) участка неба, где может находиться источник, координаты которого измерены детектором один раз.

Решение

Показать решение

Точность определения координат подобным способом будет разной в зависимости от положения источника относительно граней куба. Будем считать для простоты, что одна грань ориентирована к Северному полюсу мира, еще одна, граничащая с ней — в точку весеннего равноденствия. Предположим для начала, что все четыре грани, ориентированные в точки небесной сферы на экваторе, измеряют сигнал от источника абсолютно точно. Если прямое восхождение источника совпадает с прямым восхождением перпендикуляра к одной из этих граней, то источник будет зафиксирован этой гранью, а также полярной гранью (будем считать склонение источника положительным).

Если склонение источника равно δ \delta , а плотность потока излучения равна F, то при идеальной точности экваториальная и полярная грани зафиксируют потоки

J E = F d 2 cos δ , J_{\rm E} = F d^2 \cos \delta,
J P = F d 2 sin δ , J_{\rm P} = F d^2 \sin \delta,

где d – длина ребра куба. Тогда склонение можно было бы определить по формуле

δ = operatorname a r c t g ( J P / J E ) . \delta = \operatorname{arctg} (J_{\rm P} / J_{\rm E}).

Учтем теперь, что полярный поток определяется с погрешностью J P ⋅ ( 1 ± ϵ ) J_{\rm P} \cdot (1 \pm \epsilon) . Тогда мы имеем граничные значения измеренного склонения:

t g ( δ − Δ δ ) = t g δ ⋅ ( 1 − ε ) ; t g ( δ + Δ δ ) = t g δ ⋅ ( 1 + ε ) . tg(\delta - \Delta \delta) = tg \delta \cdot (1 - \varepsilon); \quad tg(\delta + \Delta \delta) = tg \delta \cdot (1 + \varepsilon).

Пользуясь формулами приближенного вычисления, приведенными в справочных данных, имеем:

ε t g δ = Δ δ cos 2 δ ; Δ δ = ε sin δ cos δ . \varepsilon tg\delta = \frac{\Delta \delta}{\cos^2 \delta}; \quad \Delta \delta = \varepsilon \sin \delta \cos \delta.

Мы получаем, что вблизи экватора или полюса, когда источник находится около нормали к какой-то одной грани, погрешность уменьшается (в реальности, она определяется там шумами детектора, полезный сигнал от которого стремится к нулю, но мы этот эффект здесь не рассматриваем). Максимальной погрешность будет при δ = 45 ∘ \delta = 45^{\circ} и составит ϵ / 2 \epsilon/2 радиан. В данных рамках — мы пока считаем, что погрешность есть только у полярного детектора — ситуация не изменяется, если источник не находится на одном прямом восхождении с нормалью экваториального детектора, так как потоки на экваториальные детекторы мы знаем точно. Погрешность полярного детектора приводит к ошибке координаты δ \delta , то есть положение источника смещается вдоль линии небесной сферы, направленной к положению нормали того детектора, который измерил поток с погрешностью.

Рассмотрим теперь общий случай — все детекторы обладают одинаковой погрешностью измерений. Рассмотрим оси трех детекторов, граничащих друг с другом, пусть одна попрежнему направлена в Северный полюс мира, а две другие — в точки небесного экватора с прямыми восхождениями 0ч и 6ч. Если источник находится на большом круге небесной сферы, соединяющем какие-либо две из этих точек, то погрешность измерений будет смещать источник только вдоль этого большого круга (мы не учитываем шумы третьего детектора с нулевым полезным сигналом), стрелки на рисунке. Максимальная погрешность будет достигаться в середине этой дуги между двумя осями, но площадь ошибок будет оставаться близкой к нулю.

Для рассмотрения максимальной площади нам нужно рассмотреть центр равностороннего сферического треугольника, образованного тремя точками – осями детекторов. Очевидно, что его прямое восхождение составляет 3ч. Определим его склонение δ \delta . Соединим эту точку с Северным полюсом мира и точкой весеннего равноденствия. В этом равнобедренном треугольнике две одинаковые стороны равны γ = 90 ∘ − δ \gamma = 90^{\circ} - \delta , а угол между ними – 120 ∘ 120^{\circ} . Основание треугольника равно 90 ∘ 90^{\circ} , его косинус равен нулю. Запишем выражение для сферического треугольника:

0 = cos 2 γ + sin 2 γ cos 120 ∘ = cos 2 γ − sin 2 γ 2 ; γ = operatorname a r c t g ( 2 ) = 54.7 ∘ . 0 = \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma \cos 120^\circ = \cos^2 \gamma - \frac{\sin^2 \gamma}{2}; \quad \gamma = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) = 54.7^\circ.

Склонение данной точки составляет 35.3°. Определим величину максимальной погрешности, которую вносит каждая грань (в радианах):

σ = ε sin γ cos γ = ε 2 3 . \sigma = \varepsilon \sin \gamma \cos \gamma = \frac{\varepsilon \sqrt{2}}{3}.

Смещение источника за счет погрешностей каждой из граней будет происходит вдоль большого круга, направленного к оси грани. Рассмотрим предельный случай, при котором все три погрешности дадут максимальный суммарный эффект. Как мы видим из рисунка, этот эффект будет слегка зависеть от направления погрешности. В сторону одной из осей куба смещение может достигать σ 1 = 2 σ \sigma_1 = 2\sigma . В направлении между положениями осей (под углом 30 ∘ 30^\circ к направлению на ось) максимальная погрешность составляет

σ 2 = 2 σ cos 60 ∘ = σ 3 . \sigma_2 = 2\sigma \cos 60^\circ = \sigma \sqrt{3}.

Тем самым, мы знаем величины погрешности в шести направлениях к полюсам детекторов и еще в шести направлениях биссектрис между полюсами. По ним можно понять характер всей фигуры на небе, в которой может находиться источник:

Это правильный шестиугольник, сторона которого равна σ 1 \sigma_1 . Его площадь равна шести площадям равностороннего треугольника с той же стороной:

S = 6 ⋅ σ 1 2 3 4 = σ 1 2 ⋅ 3 3 2 = σ 2 ⋅ 6 3 ≈ 10.4 ⋅ σ 2. S = 6 \cdot \frac{\sigma_1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sigma_1^2 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \sigma^2 \cdot 6\sqrt{3} \approx 10.4 \cdot \sigma^2.

В качестве приближенного варианта вместо шестиугольника может выступать круг с радиусом, равным среднему арифметическому из σ 1 \sigma_1 и σ 2 \sigma_2 , что даст в итоге ответ

S ≈ π σ 2 ( 2 + 3 2 ) 2 ≈ 10.9 ⋅ σ 2 , S \approx \pi \sigma^2 \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 \approx 10.9 \cdot \sigma^2,

либо же считать, что площадь фигуры есть среднее арифметическое от площадей кругов с радиусами σ 1 \sigma_1 и σ 2 \sigma_2 :

S ≈ π σ 2 ( 4 + 3 2 ) ≈ 11.0 ⋅ σ 2. S \approx \pi \sigma^2 \left(\frac{4+3}{2}\right) \approx 11.0 \cdot \sigma^2.

Все эти оценки могут считаться правильными. Чуть худшую точность дает предположение, что данная фигура есть просто круг с радиусом σ 1 \sigma_1 (фактически, круг, описанный около данного шестиугольника, площадь 12.5 σ 2 12.5\sigma^2 ) или σ 2 \sigma_2 (вписанный круг, площадь 9.4 σ 2 9.4\sigma^2 ). Воспользовавшись далее точной формулой, свяжем площадь фигуры с относительной погрешностью детекторов ϵ \epsilon :

S = ε 2 ⋅ 4 3 3 = 2.31 ⋅ ε 2. S = \varepsilon^2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 2.31 \cdot \varepsilon^2.

Значение ε \varepsilon есть 0.03 радианы или 1.72°, максимальная «площадь ошибок» на небе составляет 6.8 квадратных градуса.