ЛАЗЕР ДВИЖУЩИЙ Автор неизвестен

АстрономияКлассы неизвестны2019 Теоретическая Есть решение редакция rv_fb5fe84018764988 ID p_ddb2a29638f20c44

1. Условие. В одном из проектов будущего предполагается разгонять маленькие космические корабли мощным лазерным лучом, отправляя их на большие расстояния. До какой скорости можно разогнать идеально зеркальный корабль цилиндрической формы с диаметром основания 1 мм и массой 1 мг оптическим лазером мощностью 1 МВт и расходимостью пучка 5"? Считать, что основание цилиндра ориентировано перпендикулярно лазерному лучу, сам луч при выходе из лазера очень тонкий. Начальной скоростью корабля и гравитационным действием на него всех окрестных тел пренебречь.

Решение

Показать решение

1. Решение. Действие лазера на корабль будет несколько по-разному происходить в ближней зоне, когда весь пучок света будет попадать на грань корабля, и в дальней зоне, где корабль будет перехватывать лишь часть пучка. Определим расстояние, на котором размер пучка будет равен размеру корабля:

D_0 = d_0 / \rho = 41 \text{ M}.

Здесь $d_0$ - диаметр корабля, $\rho$ - расходимость пучка света лазера, выраженная в радианах. Пока расстояние от корабля меньше, чем $D_0$ , лазер будет создавать постоянную силу светового давления, равную

F_0 = 2P / c

где P - мощность лазера, c - скорость света. Множитель 2 появляется из-за зеркальной поверхности аппарата и положения его грани перпендикулярно пучку. В итоге, на расстоянии $D_0$ аппарат приобретет кинетическую энергию

E_0 = F_0 D_0 = \frac{2Pd_0}{\rho c}.

Когда аппарат удалится от лазера на большее расстояние D, на него будет действовать лишь часть пучка, доля перекрываемой площади будет убывать как квадрат расстояния. Сила действия составит

F = F_0 \frac{D_0^2}{D^2}.

Картина аналогична движению в гравитационном поле с той разницей, что сила имеет противоположный знак. При удалении с расстояния $D_0$ на бесконечность аппарат получит приращение кинетической энергии на величину $\Delta E = F_0 D_0 = E_0$ . В итоге, кинетическая энергия аппарата на большом удалении от лазера будет равна $2E_0$ . Теперь мы можем найти его скорость:

v = \sqrt{\frac{4E_0}{m}} = \sqrt{\frac{8Pd_0}{m\rho c}} \approx 1 \text{ κμ/c.}

Критерии

Показать критерии

1. Система оценивания.

Этап 1 – 1 балл. Представление характера действия лазерного пучка на аппарат, который будет разным в двух зонах по расстоянию, определение границы зон.

При отсутствии такого понимания — использования единой зависимости силы действия пучка на аппарат первый этап не засчитывается, а суммарная оценка за последующие этапы не превышает 2 баллов, см. далее.

Этап 2 – 3 балла. Вычисление кинетической энергии и/или скорости аппарата на границе ближней зоны.

Может выполняться в общем виде или численно. При использовании неверной зависимости силы от расстояния (отличной от константы), вытекающей из решения участника, этап оценивается в 0 баллов.

Вероятная ошибка: отсутствие множителя 2 в выражении для энергии или появление какого-либо иного постоянного множителя. Оценка за этап уменьшается на 1 балл, также влияя на оценку за финальный этап решения.

Этап 3 – 3 балла. Вычисление кинетической энергии аппарата на бесконечном удалении.

Может выполняться в общем виде или численно. При использовании неверной зависимости силы от расстояния (отличной от ~1/D² ), вытекающей из решения участника, этап оценивается в 0 баллов. Повтор ошибки, связанный с коэффициентом 2, не приводит к уменьшению оценки, если она уже была уменьшена на предыдущем этапе, но влияет на следующий этап.

Этап 4 – 1 балл. Вычисление скорости аппарата на бесконечном удалении.

Засчитывается только при правильном выполнении всех этапов и правильном ответе с точностью до 20%.

Подборка