ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

АстрономияРегиональный11 класс2016Есть решение редакция rv_b5fd7c6b88e1fa34 ID p_ddb8153a1d94d28c
Предложить исправление

Две яркие звезды Сириус ( α \alpha =06ч45.1м, δ \delta =-16°43′) и Вега ( α \alpha =18ч36.9м, δ \delta =+38°47′) располагаются на одинаковой высоте над горизонтом. На какой широте на Земле (с точностью до градуса) эта высота будет наибольшей?

Решение

Показать решение

Сириус и Вега находятся на небе далеко друг от друга, но не в противоположных точках небесной сферы. Через них можно провести ровно один большой круг небесной сферы. Звезды располагаются на одной высоте над горизонтом на этом круге. Эта высота будет наибольшей, если данный круг располагается вертикально, проходя через зенит (см. рисунок):

Угловое расстояние между Сириусом и Вегой, как видно по координатам, составляет примерно 160°, и звезды будут видны примерно на 10° над горизонтом. Разность прямых восхождений Сириуса и Веги существенно меньше, и мы можем считать их одинаковыми.

Тогда большой круг, содержащий две звезды и зенит, пройдет также через полюса мира и совпадет с небесным меридианом. Обозначим зенитные расстояния звезд как z. Для северного полушария Земли (рисунок) и южного полушария мы можем записать:

Северное полушарие:

z + δ 2 = 180 ∘ − φ ; z + δ 1 = φ ; z + δ 1 + z + δ 2 = 180 ∘ . z + \delta_2 = 180^{\circ} - \varphi; \quad z + \delta_1 = \varphi; \quad z + \delta_1 + z + \delta_2 = 180^{\circ}.

Южное полушарие:

z − δ 2 = 180 ∘ − φ ; z − δ 1 = φ ; z - \delta_2 = 180^{\circ} - \varphi; \quad z - \delta_1 = \varphi;
z − δ 1 + z − δ 2 = 180 ∘ . z - \delta_1 + z - \delta_2 = 180^{\circ}.

Отсюда мы получаем величины зенитных расстояний: 79° для северного полушария и 101° для южного полушария. По условию задачи, звезды располагаются над горизонтом, и мы выбираем случай северного полушария. Очевидно, Сириус располагается в верхней кульминации, Вега – в нижней кульминации. Широта места наблюдения составляет

φ = δ 1 + z = 180 ∘ − δ 2 − z = + 62 ∘ . \varphi = \delta_1 + z = 180^{\circ} - \delta_2 - z = +62^{\circ}.

Этот ответ очень близок к точному, который можно было бы получить, не предполагая противоположность прямых восхождений звезд ( + 61.9 ∘ ) (+61.9^{\circ}) .

  1. Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники должны указать, в каком случае одинаковая высота Сириуса и Веги над горизонтом будет наибольшей: большой круг, проведенный через эти звезды, должен пройти также через зенит. Этот вывод, сделанный словами или графически, оценивается в 2 балла. Далее участники могут строить метод точного вычисления широты (через формулы сферической тригонометрии или векторный анализ), что должно быть засчитано полностью (6 баллов) при условии правильного выполнения. При использовании приближенного метода, описанного выше, участники должны записать условие равных высот для северного полушария (2 балла), ту же формулу для южного полушария либо обоснование, почему этот случай не нужно рассматривать (2 балла), и, наконец, определить значение широты (2 балла). Задачу можно также решить, найдя середину дуги большого круга небесной сферы, соединяющей Вегу и Сириус, и приравнять склонение этой точки широте места.

Если участники олимпиады сразу и без обоснований указывают, что Сириус находится в верхней кульминации, а Вега в нижней кульминации, то итоговая оценка в случае правильного ответа не может превышать 4 баллов.