ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.2 Главный пояс астероидов

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный10 класс2026Есть решение редакция rv_b92ad20070afba63 ID p_e08df75b25531921
Предложить исправление

Общая масса главного пояса астероидов составляет 4% массы Луны. При этом десять самых массивных тел ГПА составляют около 55% от всей массы пояса. Предположим, что практически вся оставшаяся масса находится в астероидах, размер которых превышает 1 км. Средний радиус таких астероидов примем за 5 км. Считая, что все астероиды обращаются вокруг Солнца в одной плоскости и равномерно распределены внутри кольца с внутренним радиусом 2.1 а.е и внешним радиусом 3.3 а.е., определите характерное расстояние между такими астероидами.

Астероиды можно считать сферическими. Средняя плотность астероидов в главном поясе ρ = 2 500 ~ k r / m 3 \rho = 2\,500~{\rm kr/m}^3 .

Ответ

Показать ответ

Ответ: 7.6 · 105 км или 6.8 · 105 км.

Решение

Показать решение

Решение.

Сначала определим суммарную массу рассматриваемых астероидов. Она составляет 45% от массы всего главного пояса, которая в свою очередь, в 25 раз меньше массы Луны.

M = 0.45 ⋅ 0.04 ⋅ M C = 1.33 ⋅ 10 21 K p M = 0.45 \cdot 0.04 \cdot M_{\rm C} = 1.33 \cdot 10^{21} \; {\rm Kp}

Теперь оценим массу одного астероида:

M 1 = ρ 4 π 3 R 3 = 2500  kg/m 3 4 π 3 ( 5 ⋅ 10 3  m ) 3 = 1.3 ⋅ 10 15  kg M_1 = \rho \frac{4\pi}{3} R^3 = 2500 \text{ kg/m}^3 \frac{4\pi}{3} (5 \cdot 10^3 \text{ m})^3 = 1.3 \cdot 10^{15} \text{ kg}

Зная массу всех рассматриваемых астероидов и массу одного астероида, можно определить количество астероидов:

N = M M 1 = 1.33 ⋅ 10 21 1.3 ⋅ 10 15 = 10 6  штук . N = \frac{M}{M_1} = \frac{1.33 \cdot 10^{21}}{1.3 \cdot 10^{15}} = 10^6 \text{ штук}.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи, а именно оценить характерное расстояние между астероидами, если они распределены равномерно.

По условию задачи все астероиды находятся внутри кольца в одной плоскости, причем распределены в этом кольце равномерно. Тогда отношение площади всего кольца к числу астероидов даст нам площадь области кольца, «занятой» одним астероидом. Если мы посчитаем эту область кольцом, то диаметр этого кольца и будет являться характерным расстоянием между астероидами.

С одной стороны, площадь всего кольца астероидов равна

S = π R BHeIII 2 − π R BHYT 2 = π ( 3.3 2 − 2.1 2 ) = 20.35  a.e. 2 S = \pi R_{\text{BHeIII}}^2 - \pi R_{\text{BHYT}}^2 = \pi (3.3^2 - 2.1^2) = 20.35 \text{ a.e.}^2

С другой стороны,

S = N ⋅ S 1 = N π 4 D 2 S = N \cdot S_1 = N \frac{\pi}{4} D^2

где D – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину D.

D = 4 S π N D = \sqrt{\frac{4S}{\pi N}}

Подставим значения:

D = 4 ⋅ 20.35  a.e. 2 π 10 6 = 5.12 ⋅ 10 − 3  a.e. D = \sqrt{\frac{4 \cdot 20.35 \text{ a.e.}^2}{\pi 10^6}} = 5.12 \cdot 10^{-3} \text{ a.e.}

Переведем из астрономических единиц в километры:

D = 5.12 ⋅ 10 − 3 ⋅ 150 ⋅ 10 6  km ≈ 7.6 ⋅ 10 5  km . D = 5.12 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6 \text{ km} \approx 7.6 \cdot 10^5 \text{ km}.

Возможны также другие оценки формы этой области (например, можно взять ее квадратной, и принять за характерное расстояние длину стороны этого квадрата). Найдем значение расстояния для такой формы области:

S = N ⋅ S 1 = N D s q 2 S = N \cdot S_1 = ND_{sq}^2

где – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину .

D s q = S N D_{sq} = \sqrt{\frac{S}{N}}

Подставим значения:

D s q = 20.35  a.e. 2 10 6 = 4.51 ⋅ 10 − 3  a.e. D_{sq} = \sqrt{\frac{20.35 \text{ a.e.}^2}{10^6}} = 4.51 \cdot 10^{-3} \text{ a.e.}

Переведем из астрономических единиц в километры:

D s q = 4.51 ⋅ 10 − 3 ⋅ 150 ⋅ 10 6  km ≈ 6.8 ⋅ 10 5  km . D_{sq} = 4.51 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6 \text{ km} \approx 6.8 \cdot 10^5 \text{ km}.

Критерии

Показать критерии

Критерии оценивания. 16 К1. Определение суммарной массы исследуемых астероидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 К2. Определение числа астероидов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Если на этом этапе участник перепутал радиус астероида с его диаметром, то максимальная оценка за этот пункт – 1 балл, при прочих верных расчетах. Остальные пункты оцениваются, исходя из полученных участником величин. К3. Использование плоской (двумерной) модели для вычисления характерной площади. . .2 Участник может решать задачу и в трехмерной модели, в которой толщина кольца по вертикальной оси равна характерному диаметру астероида. К4. Определение площади главного пояса астероидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если участник использовал только один из двух заданных в условии радиусов или считал пояс квадратным, за данный этап ставится 0 баллов К5. Опредение характерного расстояния (в любой из описанных выше моделей). . . . . . . . . . .4 Данный балл ставится только при наличии верного численного ответа. Арифметическая ошибка в данном пункте, в том числе при переводе из одних единиц в другие, снижает оценку на 3 балла.