11.1 Я вам разрешаю
Тесная двойная звезда состоит из одинаковых компонент c массами 15 M⊙ каждая, движущихся по круговым орбитам на расстоянии 0.74 а.е. друг от друга. Известно, что обе звезды являются звездами Главной последовательности и обе вращаются вокруг своей оси со скоростью 36 км/с на экваторе. Оцените минимально необходимую спектральную разрешающую силу спектрографа, которая потребуется для получения кривых лучевых скоростей компонент при наблюдении в линии гелия с длиной волны 5876˚A. Уточним, что спектральная разрешающая сила — это величина R = λ ∆λ , равная отношению длины волны наблюдения к минимальной разности длин волн, которые еще можно различить на данном спектрографе.
Решение
Показать решение
Решение. За счет орбитального движения звезд линии в их спектрах периодически отклоняются от положения, соответствующего центру масс системы.
Для построения кривых лучевых скоростей компонент системы по отдельности нужно, чтобы по спектру можно было измерять отклонения центров спектральных линий каждой звезды. Это отклонение согласно эффекту Доплера равно:
где v — это лучевая скорость.
Видно, что можно перевести разрешающую силу в скорости:
Так как требуется оценить минимальную разрешающую силу, то нужно, чтобы можно было измерить ∆λ, соответствующее хотя бы максимально возможным лучевым скоростям звезд.
Относительная орбитальная скорость равна
где r = 0.74 а.е. — радиус относительной орбиты, а 2M = 30M⊙ — суммарная масса системы.
Поставив числовые данные, получаем vотн ≈ 1.9 · 102 км/с. Отсюда скорость каждой из компонент относительно центра масс равна v = vотн/2 = 95 км/с.
Заметим, что максимально возможная скорость (и, соответственно, минимальнвя требуемая разрешающая сила) будет достигнута в том случае, если мы наблюдаем систему «с ребра». Иначе наблюдаемая лучевая скорость уменьшится и линии разойдутся на меньшее расстояние.
Казалось бы, необходимую разрешающую силу можно оценить так:
(формально четыре значащих цифры тут не получить, но по устоявшейся традиции спектральную разрешающую силу принято записывать таким образом).
Однако нужно учесть, что за счет вращения звезд и за счет теплового движения газа в их атмосферах линии в их спектрах расширяются и становятся похожи на то, что на рисунке.
При большой ширине близко расположенные линии начинают перекрываться, поэтому чтобы разрешить их потребуется б´ольшая разрешающая сила.
Приближенно можно оценить ширину спектральной линии по формуле эффекта Доплера для соответствующих скоростей.
Оценим скорость теплового движения. Так как требуется разрешение линии гелия, то нужно оценить характерную скорость движения атомов гелия в атмосфере звезд. Температуру звезды Главной последовательности с массой 15M⊙ можно оценить как T = 3 · 104 K. Скорость атомов гелия можно оценить как
где R — универсальная газовая постоянная, µ — молярная масса гелия.
Подставляя числа, получаем vтепл = 11 км/с.
И вращение, и тепловое движение приводят к расширению спектральной линии одинаковым образом, поэтому можно оценить «эффективную скорость» для оценки ширины линии. Наиболее разумная идея — вычислить среднеквадратичное двух скоростей:
На соответствующую v ∆λ линия будет расширяться в обе стороны от центральной длины волны. Если нужно, чтобы линии разрешались, расстояние между их центрами должно быть больше удвоенной v.
Орбитальная скорость звезд больше, чем удвоенная v примерно на ∆v = 20 км/с, поэтому можно ожидать, что при разрешающей силе, соответствующей ∆v, можно будет построить кривые лучевых скоростей каждого компонента. Отсюда
Критерии
Показать критерии
Критерии оценивания.
| К1. | Расчет орбитальных скоростей | 3 |
|---|---|---|
| Если явно не указано, что наблюдатель находится в плоскости орбиты –1 | ||
| К2. | Расчет уширения линий за счет вращения и тепловых движений | 3 |
| К3. | Расчёт совместного влияния температуры и вращения на уширение линий | 3 |
| Засчитывается любая адекватная модель совместного влияния. Если в решении | ||
| используется только один фактор, оценка за этот критерий равна нулю. | ||
| К4. | Связь относительной скорости и величины уширения линий с разрешением | |
| спектрографа | 3 | |
| К5. | Получение численного ответа | 3 |
| –1 Если в ответе больше 3 значащих цифр | ||
| Максимальная оценка: 15 |
В случае если в решении вообще не используется уширение линий, решение оценивается не более чем 6 баллами.
В случае если в решении используется только одна компонента уширения, решение оценивается не более чем 10 баллами.