ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

11.2 METEOPHOE 3XO

Автор: E.H. Фадеев

АстрономияКлассы неизвестны2023ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_33dad219a707297b ID p_e876070f16f26755
Предложить исправление

Радар, изучающий метеоры, фиксирует радиоэхо только тогда, когда направление от радара к метеору перпендикулярно ионизационному следу метеора. Радар, расположенный на широте + 52 ∘ +52^{\circ} , направлен в точку востока. В 11 4 02 M 11^{^{4}}02^{^{M}} местного времени 2 июля он начинает получать многочисленные сигналы от метеоров, проходящих через его луч. Радар поворачивают на 40 ∘ 40^{\circ} вдоль горизонта в сторону юга. В новом положении он начинает обнаруживать метеоры того же потока в 12 4 42 M 12^{^{4}}42^{^{M}} . Найдите экваториальные координаты (прямое восхождение и склонение) радианта этого метеорного потока. Уравнением времени пренебречь.

Решение

Показать решение

Когда радар направлен в точку востока, линия его обзора есть линия запад-восток. Метеоры могут быть перпендикулярны лучу радара в этом случае, если их радиант расположен в плоскости, перпендикулярной этому лучу, то есть на небесном меридиане. В день летнего солнцестояния, 21 июня, прямое восхождение Солнца равно 6ч. За 11 суток Солнце смещается на

Δ α = 360 ∘ 11 365.25 ≈ 10.8 ∘ = 0.72 y . \Delta \alpha = 360^{\circ} \frac{11}{365.25} \approx 10.8^{\circ} = 0.72 \,\text{y}.

Следовательно, 2 июля в местный полдень в верхней кульминации находятся светила с прямым восхождением 6.72ч ≈ 6 \approx 6 ч43м. За 58 минут до полудня в верхней кульминации были звёзды с прямым восхождением 6ч43м - 58м = 5ч45м. Это одно из возможных значений прямого восхождения радианта. Второе соответствует нижней кульминации, т. е. 17ч45м. Здесь мы не делали разницу между солнечным и звездным временем, поскольку за время ∼ 1 \sim 1 часа эти шкалы расходятся всего на 10 секунд, что явно находится за пределами точности вычислений.

После того, как радар перенаправили в точку на горизонте, которая имеет азимут на 40 ∘ 40^{\circ} больший, чем точка востока, он будет фиксировать метеоры, чей радиант находится на вертикалах с астрономическими азимутами 40 ∘ 40^{\circ} или 220 ∘ 220^{\circ} .

Если в первый момент времени радиант находился в верхней кульминации (t=0), то через 1ч40м он будет в западной полусфере неба, и для него возможен только вариант A = 40 ∘ A=40^\circ . Если же радиант располагался в нижней кульминации над точкой севера, то во второй момент для него возможна только восточная полусфера и азимут 220°. Рассмотрим эти два случая по отдельности.

Мы можем построить параллактический треугольник, в котором нам известны часовой угол t=1ч40м = 25° и азимут A=40°, а также широта места наблюдения. Тогда с помощью сферической теоремы косинусов мы можем найти параллактический угол:

cos p = − cos t cos ( 180 ∘ − A ) + sin t sin ( 180 ∘ − A ) cos ( 90 ∘ − φ ) = \cos p = -\cos t \cos(180^{\circ} - A) + \sin t \sin(180^{\circ} - A) \cos(90^{\circ} - \varphi) =
=  cos t cos A + sin t sin A sin φ ≈ 0.908. \text{= } \cos t \cos A + \sin t \sin A \sin \varphi \approx 0.908.

Отсюда получаем p ≈ 24.7 ∘ p \approx 24.7^\circ . Чтобы найти склонение радианта, можно воспользоваться теоремой синусов для сферического треугольника:

sin ( 90 ∘ − δ ) sin ( 180 ∘ − A ) = sin ( 90 ∘ − φ ) sin p ⇒ cos δ sin A = cos φ sin p ⇒ cos δ = cos φ sin A sin p ≈ 0.946. \frac{\sin(90^{\circ} - \delta)}{\sin(180^{\circ} - A)} = \frac{\sin(90^{\circ} - \varphi)}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \frac{\cos\delta}{\sin A} = \frac{\cos\varphi}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \cos\delta = \frac{\cos\varphi\sin A}{\sin p} \approx 0.946.

Тогда склонение равно δ 1 ≈ ± 18.9 ∘ \delta_1 \approx \pm 18.9^\circ . На широте 52° над горизонтом поднимаются объекты со склонением вплоть до − 38 ∘ -38^\circ , поэтому оба значения склонения возможны, и надо сделать выбор. Можно воспользоваться формулой пяти элементов:

s i n δ = c o s t s i n A s i n φ − s i n t c o s A s i n p ≈ 0.324 ⇒ δ ≈ 18.9 ∘ . sin\delta = \frac{cost \, sinA \, sin\varphi - sint \, cosA}{sinp} \approx 0.324 \quad \Rightarrow \quad \delta \approx 18.9^{\circ}.

В данном случае склонение определяется однозначно, поскольку второе значение δ \delta не попадает в область ± 90 ∘ \pm 90^{\circ} . В принципе, эту формулу можно было использовать сразу вместо теоремы синусов.

Еще один способ определения склонения заключается в применении сферической теоремы синусов для высоты радианта в верхней кульминации:

sin ( 90 ∘ − h ) sin t = cos ( 90 ∘ − φ ) sin p ⇒ cos h = sin t cos φ sin p ≈ 0.623 ⇒ h ≈ ± 51.5 ∘ . \frac{\sin(90^{\circ} - h)}{\sin t} = \frac{\cos(90^{\circ} - \varphi)}{\sin p} \quad \Rightarrow \quad \cos h = \frac{\sin t \cos \varphi}{\sin p} \approx 0.623 \quad \Rightarrow \quad h \approx \pm 51.5^{\circ}.

Радиант не может находиться глубоко под горизонтом (фактически, это случай нижней кульминации радианта), так как в этом случае метеоры зафиксировать бы не удалось. Полученное значение высоты соответствует склонению радианта +18.9°.

Рассмотрим теперь случай нижней кульминации радианта с последующим проходом азимута A 1 A_1 =220°. Рассуждая тем же образом с учетом величины часового угла t 1 t_1 =205°, можно прийти к тем же значениям соѕ p и соѕ δ \delta . Однако, формула пяти элементов даёт другое значение склонения:

sin δ = sin t 1 cos A 1 − cos t 1 sin A 1 sin φ sin ρ ≈ − 0.324 ⇒ δ ≈ − 18.9 ∘ . \sin \delta = \frac{\sin t_1 \cos A_1 - \cos t_1 \sin A_1 \sin \varphi}{\sin \rho} \approx -0.324 \quad \Rightarrow \quad \delta \approx -18.9^{\circ}.

Очевидно, что точка с таким склонением вблизи нижней кульминации находится очень глубоко под горизонтом, и метеоры такого потока в этот момент бы не наблюдались. К этому выводу можно было прийти и на основе вычисления высоты радианта над горизонтом:

cosh 1 = − sin t 1 cos φ sin p ≈ 0.623 ⇒ h 1 ≈ ± 51.5 ∘ . \cosh_1 = -\frac{\sin t_1 \cos \varphi}{\sin p} \approx 0.623 \quad \Rightarrow \quad h_1 \approx \pm 51.5^\circ.

Положительная высота здесь невозможна, так как светило с южным склонением не может находиться так высоко в северной части неба.

Наконец, приведем простой приближенный способ, позволяющий определить склонение радианта с небольшой погрешностью, вообще не прибегая к формулам сферической тригонометрии. Предположим, что радиант в первый момент наблюдения находился в верхней кульминации, а потом он оказался на азимуте + 40 ∘ +40^{\circ} , то есть его суточный путь проходил южнее зенита. До достижения часового угла t он пройдет дугу по небу, приближенно равную t cos δ t\cos\delta . Радиант вблизи кульминации движется по небесной сфере практически горизонтально, поэтому эту же дугу можем считать примерно равной

t cos δ = A cos h = A cos ( 90 ∘ − φ + δ ) = A sin ( φ − δ ) = A ( sin φ cos δ − cos φ sin δ ) . t\cos\delta = A\cos h = A\cos(90^{\circ} - \varphi + \delta) = A\sin(\varphi - \delta) = A(\sin\varphi\cos\delta - \cos\varphi\sin\delta).

Отсюда мы получаем:

δ = a r c t g A sin φ − t A cos φ = + 15 ∘ . \delta = arctg \frac{A\sin \varphi - t}{A\cos \varphi} = +15^{\circ}.

Заметим, что мы сразу нашли не только величину склонения (с погрешностью около 4 ∘ 4^{\circ} ), но сразу же и его знак. Аналогично, для случая нижней кульминации мы получим склонение около − 15 ∘ -15^{\circ} и расположение под горизонтом.

Точные координаты радианта: α = 5 \alpha = 5 ч45м, δ = + 18.9 \delta = +18.9 °, они соответствуют известному летнему дневному метеорному потоку β \beta -Тауриды, порожденному кометой Энке и имеющему возможную связь с Тунгусским явлением.