ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

АстрономияРегиональный9 класс2013Есть решение редакция rv_02571218738c2131 ID p_edc20ee306332e63
Предложить исправление

На рисунке показан трек планеты Солнечной системы (положение среди звезд в разные моменты времени). Положения, отмеченные кружками, отстоят друг от друга на 10 дней, даты подписаны через 30 дней. Что это за планета?

Решение

Показать решение

Трек показывает видимое перемещение планеты в течение полугода (с марта по август). За это время планета вначале движется в прямом направлении, затем разворачивается и движется попятно, а затем вновь прямо. В середине дуги попятного движения, в мае, планета оказывается на границе созвездий Весов и Скорпиона, противоположно Солнцу (в чем можно убедиться также по координатам, указанным на карте). Следовательно, это внешняя планета, и в середине дуги попятного движения она вступила в противостояние с Солнцем.

Используя шкалу склонений, приведенных на карте, можно определить ее масштаб, а также видимую (угловую) скорость перемещения планеты вблизи противостояния во второй половине мая. Угловое расстояние между положениями планеты 20 и 30 мая составляет 0.75°, то есть угловая скорость равна 0.075° в день.

Пусть радиус орбиты планеты равен r, а радиус орбиты Земли − r 0 -r_0 . В момент противостояния планета располагается на расстоянии ( r − r 0 ) (r-r_0) от Земли. Скорости Земли r 0 r_0 и планеты v сонаправлены (наклон и эллиптичность орбиты планет не вносит существенного отклонения), и видимая угловая скорость планеты равна

ω = v 0 − v r − r 0 . \omega = \frac{v_0 - v}{r - r_0}.

Из III закона Кеплера или из выражения для первой космической скорости можно получить соотношение скоростей планеты и Земли:

v = v 0 r 0 r . v = v_0 \sqrt{\frac{r_0}{r}}.

Подставляя вторую формулу в первую, получаем:

ω = v 0 r ⋅ 1 − ( r 0 / r ) 1 / 2 1 − ( r 0 / r ) = v 0 r ⋅ 1 1 + ( r 0 / r ) 1 / 2 = v 0 r + ( r 0 r ) 1 / 2 . \omega = \frac{v_0}{r} \cdot \frac{1 - (r_0 / r)^{1/2}}{1 - (r_0 / r)} = \frac{v_0}{r} \cdot \frac{1}{1 + (r_0 / r)^{1/2}} = \frac{v_0}{r + (r_0 r)^{1/2}}.

Обозначим отношение ( r / r 0 ) (r/r_0) – радиус орбиты в астрономических единицах – через a. Тогда последнее соотношение примет вид:

ω = v 0 r 0 ⋅ 1 a + a = ω 0 ⋅ 1 a + a . \omega = \frac{v_0}{r_0} \cdot \frac{1}{a + \sqrt{a}} = \omega_0 \cdot \frac{1}{a + \sqrt{a}}.

Здесь ω 0 \omega_0 — угловая скорость орбитального вращения Земли, равная 0.986 ∘ 0.986^\circ в сутки. Мы получаем квадратное уравнение

a ω + a ω − ω 0 = 0. a\,\omega + \sqrt{a}\,\omega - \omega_0 = 0.

Это уравнение имеет один действительный корень:

a = ( 1 + 4 ω 0 / ω − 1 2 ) 2. a = \left(\frac{\sqrt{1 + 4\omega_0/\omega} - 1}{2}\right)^2.

Подставляя измеренное по графику значение ω \omega , получаем радиус орбиты планеты: 10 а.е. Это планета Сатурн.