ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный11 класс2016Есть решение редакция rv_6fc73d90e7dfb659 ID p_edda058fd5809841
Предложить исправление

Задолго до подлета межпланетной станции к Нептуну со стороны Солнца диск его спутника Тритон различим с борта станции в некоторый телескоп, причем выглядит таким же (по видимым размерам и яркости), как сам Нептун без телескопа. Найдите диаметр объектива телескопа и его увеличение. Геометрическое альбедо Нептуна и Тритона равно 0.41 и 0.76 соответственно.

Решение

Показать решение

По условию задачи, станция подлетает к Нептуну со стороны Солнца, поэтому планета и все ее спутники, видимые в тот или иной момент, будут иметь полную фазу, то есть выглядеть как круглые диски. Для углового диаметра δ \delta и яркости объекта j (или плотности потока энергии от него) в этом случае справедливы соотношения:

δ = Δ L ; j = I A π Δ 2 4 π L 2 = I A Δ 2 4 L 2 . \delta = \frac{\Delta}{L}; \quad j = I \frac{A\pi\Delta^2}{4\pi L^2} = I \frac{A\Delta^2}{4L^2}.

Здесь I — поток солнечного излучения вблизи объекта, L — расстояние до него, Δ \Delta и A — диаметр и геометрическое альбедо объекта. Отметим, что в случае использования сферического альбедо в предположении одинакового отражения света во все стороны, в знаменателе появился бы еще множитель 4. Это не меняло бы дальнейшее решение задачи, так как это в равной степени относилось бы к Нептуну и Тритону.

По условию задачи, космический аппарат находится еще достаточно далеко от системы "Нептун-Тритон", поэтому расстояния до Нептуна и Тритона можно считать одинаковыми. Также одинакова для них величина I. При использовании телескопа с диаметром объектива D и увеличением Γ \Gamma видимый диаметр объекта будет равен

δ ′ = δ ⋅ Γ \delta' = \delta \cdot \Gamma

Видимая яркость объекта зависит от параметров телескопа, который при этом используется. Если увеличение телескопа Γ \Gamma больше отношения диаметров телескопа (D) и зрачка глаза (d), то вся собранная объективом световая энергия попадет в глаз наблюдателя:

j ′ = j D 2 d 2 , Γ ≥ D d ; j'=j\frac{D^2}{d^2}, \quad \Gamma \ge \frac{D}{d};

Вспомним, что величина j соответствует наблюдениям невооруженным глазом. Если же увеличение меньше, то в глаз попадет лишь энергия, собранная центральной частью объектива диаметром d ⋅ Γ d \cdot \Gamma . Тогда

j ′ = j Γ 2 , Γ < D d . j'=j\Gamma^2, \quad \Gamma < \frac{D}{d}.

По условию задачи, Тритон (индекс 2) выглядит в телескоп таким же, как Нептун (индекс 1) без телескопа, то есть

δ ' 2 = δ 1 , j ' 2 = j 1. \delta'_2 = \delta_1, \quad j'_2 = j_1.

Тогда равенства видимых диаметров мы имеем:

δ ' 2 δ 1 = 1 = Γ δ 2 δ 1 = Γ Δ 2 Δ 1 ; Γ = Δ 1 Δ 2 = 18. \frac{\delta'_2}{\delta_1} = 1 = \frac{\Gamma \delta_2}{\delta_1} = \frac{\Gamma \Delta_2}{\Delta_1}; \quad \Gamma = \frac{\Delta_1}{\Delta_2} = 18.

Из равенства видимой яркости:

j ' 2 j 1 = 1 = j 2 j 1 D 2 d 2 = A 2 A 1 ⋅ D 2 d 2 ⋅ Δ 2 2 Δ 1 2 = A 2 A 1 ⋅ D 2 d 2 ⋅ 1 Γ 2 , Γ ≥ D d ; \frac{j'_2}{j_1} = 1 = \frac{j_2}{j_1} \frac{D^2}{d^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{D^2}{d^2} \cdot \frac{\Delta_2^2}{\Delta_1^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{D^2}{d^2} \cdot \frac{1}{\Gamma^2}, \quad \Gamma \ge \frac{D}{d};
j ' 2 j 1 = 1 = j 2 j 1 Γ 2 = A 2 A 1 ⋅ Γ 2 ⋅ Δ 2 2 Δ 1 2 = A 2 A 1 ⋅ Γ 2 ⋅ 1 Γ 2 = A 2 A 1 , Γ < D d . \frac{j'_2}{j_1} = 1 = \frac{j_2}{j_1} \Gamma^2 = \frac{A_2}{A_1} \cdot \Gamma^2 \cdot \frac{\Delta_2^2}{\Delta_1^2} = \frac{A_2}{A_1} \cdot \Gamma^2 \cdot \frac{1}{\Gamma^2} = \frac{A_2}{A_1}, \quad \Gamma < \frac{D}{d}.

Во втором случае мы пришли к противоречию, так как геометрическое альбедо у Нептуна и Тритона разное, их отношение не равно единице. Для первого случая имеем:

D = d Γ A 1 A 2 = d Δ 1 Δ 2 A 1 A 2 = d ⋅ 13.5 = 8  cm . D = d\Gamma \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = d\frac{\Delta_1}{\Delta_2} \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = d \cdot 13.5 = 8 \text{ cm}.

Диаметр зрачка глаза принят равным 6 мм (необходимо удостовериться, что выполняется соотношение Γ ≥ D / d \Gamma \ge D/d ). Обратим внимание, что решение задачи существует только при A 2 ≥ A 1 A_2 \ge A_1 (геометрическое альбедо у спутника не меньше, чем у планеты).

  1. Рекомендации для жюри. Задачу можно решать, сравнивая видимые диаметры и яркость либо же видимые диаметры и поверхностную яркость Нептуна для невооруженного глаза и Тритона в телескоп, что одинаково верно. При этом можно не выписывать выражения для полной и поверхностной яркости, а сразу переходить к их соотношению. Если же данные выражения в записаны в абсолютном виде, то в знаменателе участники могут записывать также дополнительные коэффициенты 2 или 4, фактически путая геометрическое альбедо со сферическим. Это не влияет на дальнейшие вычисления (так как коэффициенты сокращаются при сравнении яркостей) и не может служить основанием для снижения оценки. Вместо альбедо участники олимпиады могут использовать звездные величины Нептуна и Тритона с Земли в противостоянии, указанные в справочных данных, что при правильном решении с учетом разных размеров двух тел приводит к тому же ответу.

Правильная запись соотношения видимых диаметров Нептуна (глазом) и Тритона (в телескоп) оценивается в 1 балл, верное вычисление увеличения оценивается еще в 1 балл. Запись соотношения полных или поверхностных яркостей объекта оценивается по 2 балла за каждый из возможных случаев. Выбор правильного случая оценивается в 1 балл, и еще 1 балл выставляется за определение диаметра объектива телескопа. При этом допускаются отклонения от полученной выше величины, если они вызваны взятием другого размера зрачка глаза вплоть до 10 мм (в этом случае диаметр объектива возрастает до 13.5 см).

Если второй случай (увеличение телескопа меньше равнозрачкового) не рассматривается, то итоговая оценка за решение не может быть выше 6 баллов.