Задача 6

Астрономия Региональный 11 класс 2016 Есть решение редакция rv_0d396552b569a584 ID p_f13a652fe1a4bb4f

Пульсар PSR B1257+12 стал первым, у которого была найдена планета. Период этого пульсара составляет 6.22 мс, его масса равна 1.5 массам Солнца. Планета была обнаружена на основе того, что импульсы регистрировались не в то время, в которое они должны были поступать. На графике приведена зависимость величины смещения моментов регистрации импульсов пульсара (по сравнению с моделью без этой планеты) от времени. Оцените массу планеты, считая, что луч зрения лежит в плоскости ее орбиты.

Решение

Показать решение

Пульсар изменяет свой наблюдаемый период вследствие своего вращения вокруг общего с планетой центра масс и эффекта Доплера. По графику мы можем определить период обращения пульсара и планеты вокруг общего центра масс T, он равен 25 суткам. Само изменение периода ничтожно мало, но складываясь период за периодом, оно дает величину смещения периода наблюдаемого максимума по сравнению со случаем, если бы планеты у пульсара не было.

Задание можно решать несколькими способами. Возьмем, к примеру, момент наиболее быстрого изменения величины смещения на рисунке, проведя касательную к изображенной там кривой, и определим это изменение:

\eta = \frac{2\Delta t}{\Delta T} = 10^{-11}.

Это означает, что каждый из периодов пульсара в этот момент был в $(1+\eta)$ раз больше, чем при отсутствии экзопланеты. Тем самым, мы можем определить ничтожную амплитуду лучевой скорости пульсара:

v = c\eta = 3 \text{ MM/c}.

Мы считаем, что луч зрения лежит в плоскости орбит в системе, следовательно, полученная величина совпадает с полной скоростью звезды. График представляет собой синусоиду, поэтому мы можем считать орбиту круговой, а скорости – постоянными. Вычислим радиус орбиты пульсара:

A = \frac{vT}{2\pi} = 1 \text{ км.}

При решении задачи другим способом эту же величину можно определить еще проще. Запаздывание сигналов определяется тем, насколько дальше (или ближе) расположен пульсар по сравнению с центром масс системы. Если луч зрения находится в плоскости орбит, то радиус орбиты пульсара A есть произведение максимального запаздывания импульса $\Delta t$ (0.0035 мс, см. рисунок) и скорости света c.

Обозначим массы пульсара и планеты как M и m, радиус орбиты планеты A. Расстояние между компонентами системы равно

a_0 = a + A = \frac{A(M+m)}{m}.

Здесь a — большая полуось орбиты планеты. Мы учли, что из определения центра масс AM = am. Из III закона Кеплера имеем:

\frac{G(M+m)T^2}{4\pi^2} = a_0^3 = A^3 \frac{(M+m)^3}{m^3}.

Масса планеты составляет

m = \left(\frac{4\pi^2 (M+m)^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} \approx \left(\frac{4\pi^2 M^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{v^2 M^2 A}{G}\right)^{1/3}.

Мы получаем значение $10^{23}$ кг или 1/60 массы Земли! С учетом возможного наклона орбиты планеты к картинной плоскости (при решении не рассматривалось) масса планеты может быть больше. В реальности у данного пульсара есть еще две планеты с большей массой, в данной задаче был отдельно рассмотрен эффект, по которому удалось открыть третью, наименее массивную планету.

6. Рекомендации для жюри. Первая часть решения задания связана с анализом графика, из которого участники олимпиады должны получить значения орбитального периода (1 балл), а также амплитуды лучевой скорости и/или радиуса орбиты пульсара (достаточного одного из этих параметров, 2 балла), при этом допускаются отклонения от указанных выше величин в пределах 20%. Если приведенная на графике величина воспринимается как само изменение периода пульсара, общая оценка не может превышать 2 баллов. Связь скорости (или радиуса орбиты) звезды, планеты и центра масс оценивается в 2 балла. Правильное применение III закона Кеплера (или формул кругового движения) оценивается еще в 2 балла. Наконец, последний 1 балл выставляется за вычисление массы экзопланеты.

Если правильное значение массы планеты дается без обоснований, то итоговая оценка не может быть более 2 баллов.

Подборка

Задача 6

Решение