ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

ДВА ВОСХОДА

Автор: О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2014ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_ab0cd17b32b858b8 ID p_f1e73ca913044a21
Предложить исправление

Два последовательных восхода планеты в некоторой точке экватора Земли разделены промежутком времени 24ч03м. Что это за планета?

Решение

Показать решение

Между восходами планеты на экваторе прошло время, большее звездных и даже солнечных суток. Следовательно, эта планета за день сместилась среди звезд с запада на восток (прямое движение), причем на больший угол, чем Солнце.

Сразу можно сделать вывод, что это внутренняя планета — Меркурий или Венера.

Так как дело происходит на экваторе, изменение склонения фактически не может влиять на время восхода планеты, расположенной далеко от полюсов мира. Уравнение времени также несущественно, так как его изменение за один день намного меньше одной минуты. Два восхода планеты разделены одними звездными сутками и еще 7 минутами — именно на 7 минут или на 1.75° увеличилось прямое восхождение планеты. Ее угловое перемещение среди звезд не менее, чем

γ ≥ Δ α cos ε = 1.6 ∘ . \gamma \ge \Delta \alpha \cos \varepsilon = 1.6^{\circ}.

Здесь ε \varepsilon — наклон экватора к эклиптике. Покажем, что Венера не может переместиться на такой угол за один день. Ее максимальная угловая скорость достигается в верхнем соединении (см. рисунок) и равна

ω = v 0 + v 1 l 0 + l 1 = v 0 ( 1 + a − 1 / 2 ) l 0 ( a + 1 ) = ω 0 1 + a − 1 / 2 1 + a . \omega = \frac{v_0 + v_1}{l_0 + l_1} = \frac{v_0 (1 + a^{-1/2})}{l_0 (a+1)} = \omega_0 \frac{1 + a^{-1/2}}{1 + a}.

Здесь l 0 l_0 и l 1 l_1 — расстояния Земли и Венеры от Солнца, v 0 v_0 и v 1 v_1 — их орбитальные скорости. В последнем равенстве ω 0 \omega_0 — угловая скорость орбитального движения Земли (0.986° в сутки), a — радиус орбиты Венеры в астрономических единицах. Максимальная угловая скорость составляет 1.25° в день. Для Меркурия, даже в случае круговой орбиты, она может достичь 1.85° в день. Итак, эта планета — Меркурий.