ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияКлассы неизвестны2021ТеоретическаяЕсть решение редакция rv_51135f431eb4ac18 ID p_f38e335692cc659a
Предложить исправление

Условие. Большой наземный телескоп нового поколения оснащен лазером, работающим в спектральной линии натрия с длиной волны 5890 ангстрем. Освещая слой натрия в атмосфере Земли на высоте 100 км, лазер создает "искусственную звезду". Ее свет анализируется системой адаптивной оптики телескопа для исправления атмосферных искажений над местом наблюдений. Определите, какая мощность узконаправленного лазерного луча необходима для создания в небе на высоте 45° над горизонтом искусственной звезды с визуальной звездной величиной 6m. Вертикальную оптическую толщину слоя натрия в атмосфере Земли в спектральной линии считать равной 0.010, излучение атомов натрия изотропно. Поглощением и рассеянием света в более низких слоях атмосферы пренебречь (в реальности проблема рассеяния в нижних слоях решается небольшим смещением лазера относительно телескопа).

Решение

Показать решение

Решение. Слой натрия располагается достаточно высоко в атмосфере, но эта высота существенно меньше радиуса Земли. Луч лазера образует угол h=45° с горизонтом, и мы вполне можем рассматривать атмосферу как плоско-параллельную, считая, что луч пересекает слой натрия под тем же углом 45°. В реальности, учет сферичности Земли изменит этот угол всего на 1°.

Пусть d − толщина слоя натрия (она составляет несколько километров). За счет наклона луча лазера он пройдет сквозь этот слой путь d/sinh. Таким же образом увеличится оптическая толщина слоя натрия для луча лазера по сравнению с вертикальной оптической толщиной τ0:

τ = τ 0 / sin h = 0.014 . tag 1 \tau = \tau_0 / \sin h = 0.014. \tag{1}

Пусть J0 − искомая мощность лазера. Его луч узкий и целиком пройдет через площадку, соответствующую изображению "искусственной звезды" на небе. Мощность излучения, задержанного слоем натрия, составит:

J = J 0 ( 1 − e − τ ) ≈ J 0 τ = J 0 τ 0 / sin h . tag 2 J = J_0 (1 - e^{-\tau}) \approx J_0 \tau = J_0 \tau_0 / \sin h. \tag{2}

Эта величина есть фактически светимость "натриевой звезды". Мы наблюдаем эту звезду с расстояния H = H 0 / sin h = 141 H=H_0/\sin h=141 км, H 0 H_0 – высота слоя натрия. При учете сферичности Земли мы бы получили величину 140 км, практически неотличимую от только что найденной. Количество световой энергии, проходящее через единицу площади в единицу времени вблизи телескопа, будет равно:

S = J 4 π ( H 0 / sin h ) 2 = J 0 τ 0 4 π H 0 2 sin h . tag 3 S = \frac{J}{4\pi (H_0/\sin h)^2} = \frac{J_0 \tau_0}{4\pi H_0^2} \sin h. \tag{3}

Следует обратить особое внимание на первую степень множителя ( sin h \sin h ) в этой формуле. В случае физического источника света в атмосфере мы бы имели ( sin 2 h \sin^2 h ). Для определения звездной величины мы сравниваем искусственную звезду с другим источником света со звездной величиной m 0 m_0 и мощностью приходящей энергии через единичную площадь S 0 S_0 :

m − m 0 = − 2.5 lg ( S / S 0 ) . tag 4 m - m_0 = -2.5 \lg (S/S_0). \tag{4}

В качестве объекта сравнения логично выбрать Солнце с визуальной звездной величиной − 26.8 m -26.8^{\rm m} , количество поступающей энергии от которого на Земле известно. Но здесь необходимо обратить внимание на важный факт. Лазер и слой натрия не являются абсолютно черными телами, и целиком излучают на длине волны лазера и натрия, попадающую в видимую область спектра, определяющую визуальную звездную величину, указанную в условии. Излучение Солнца попадает в видимый диапазон лишь частично. Поэтому для корректного сравнения мы берем значение плотности потока энергии от Солнца S 0 S_0 в видимом диапазоне спектра (600 B T / M 2 BT/M^2 ). Теперь мы можем определить мощность лазера:

J 0 = 4 π H 0 2 S τ 0 sin h = 4 π H 0 2 S 0 τ 0 sin h ⋅ 10 0.4 ( m 0 − m ) = 800  Bt . tag 5 J_0 = \frac{4\pi H_0^2 S}{\tau_0 \sin h} = \frac{4\pi H_0^2 S_0}{\tau_0 \sin h} \cdot 10^{0.4(m_0 - m)} = 800 \text{ Bt}. \tag{5}

Критерии

Показать критерии

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1  этап − 3  балла. 600 \frac{1 \text{ этап} - 3 \text{ балла.}}{600} Учет фактора оптической толщины, то есть того, что не вся энергия лазера будет рассеиваться слоем натрия в атмосфере. Полностью выполненным этап считается при правильном выражении светимости "натриевой звезды" в атмосфере — формула (2) или эквивалентное ей выражение.

Участник олимпиады может использовать геометрию сферической Земли при расчете угла между лучом лазера и слоем натрия. В этом случае угол меняется всего на 1°, что дает эффект в дальнейших вычислениях порядка 2%. Это не влияет на оценку в случае правильного выполнения, однако если это вызывает отклонение в 10% и более — это свидетельствует об ошибке, оценка снижается на 1 балл.

Участник олимпиады может также пытаться учесть самопоглощение излучения в слое натрия. Математически это эквивалентно сохранению общего вида формулы (2) без приближений. Однако ввиду очень малой оптической толщины слоя разница будет ничтожной: случае мы получим светимость натриевой звезды в 0.139 J 0 0.139J_0 вместо 0.14 J 0 0.14J_0 , то есть эффект составляет менее 1%. Учет самопоглощения не влияет на оценку, если его эффект оказывается менее 3% от светимости натриевой звезды, при большем отклонении оценка снижается на 1 балл.

Вероятные ошибки при выполнении этапа:

  1. Пропуск фактора sin h \sin h , то есть расчет светимости натриевой звезды в зените вместо высоты 45°. При отсутствии иных ошибок это приводит к фактору sin 2 h \sin^2 h вместо sin h \sin h в

итоговой формуле решения и увеличению итоговой мощности лазера в 1.4 раза. В этом случае оценка за этап уменьшается на 1 балл.

  1. Эффект полностью пропущен, светимость натриевой звезды считается равной мощности лазера. В этом случае этап полностью не засчитывается, остальные этапы, кроме финального, оцениваются в полной мере.

Этап 2 – 3 балла. Связь плотности потока энергии от натриевой звезды с ее светимостью. Основным моментом является обратная пропорциональность второй (а не четвертой) степени расстояния, так как луч узконаправленный и целиком попадает в исследуемую область атмосферы. При иных показателях степени этап не засчитывается.

Вероятная ошибка при выполнении этапа: пропуск фактора увеличения расстояния до натриевой звезды из-за ее высоты над горизонтом в 45°. Это приводит к исчезновению фактора sin2 h в первом равенстве формулы (3), а в ее втором равенстве sinh переходит из числителя в знаменатель. В итоге это приводит к двукратному занижению итоговой мощности лазера, оценка за этап уменьшается на 1 балл.

Участник олимпиады может допустить ошибки на первом и втором этапах, связанные с расположением натриевой звезды. Эффекты будут частично компенсироваться, из итогового выражения пропадет фактор (sinh), а мощность лазера будет занижена в 1.4 раза. В этом случае сохраняется уменьшение оценки на 1 балл за первый этап и уменьшение на 1 балл за второй этап (итоговый эффект – уменьшение на 2 балла, также уменьшится оценка за последний этап решения).

При расчете расстояния до звезды участник может пользоваться моделью сферической Земли, но в этом случае расстояние уменьшается всего на 1 км и итоговый эффект в потоке энергии от источника на Земле составляет менее 2%. Это не влияет на оценку при правильном выполнении, но уменьшает ее на 1 балл, если эффект оказывается большим 15%.

Этап 3 – 2 балла. Сравнение натриевой звезды с другим источником света, применение формулы Погсона. Если в качестве источника берется Солнце с болометрической величиной плотности потока энергии – это увеличивает итоговую мощность лазера в 2.5 раза, за данный этап выставляется только 1 балл.

Этап 4 – 2 балла. Формулировка ответа. Выставляется при правильно выполненных предыдущих этапах и ответе. При ответе, отличном от правильного более, чем в полтора раза (в частности, из-за описанных выше причин), оценка за этап уменьшается до 1 балла, при отличии более чем в 3 раза – этап не засчитывается.