9.3 Далекие перспективы

Автор: А. Ф.Шишкина

Астрономия Региональный 9 класс 2025 Есть решение редакция rv_a6ad7c31e4458cea ID p_fef60024fde9fc1c

В одном романе описано, что ученые создали в Солнечной системе искусственную планету Х со следующими характеристиками:

1. если с планеты Х зарисовать взаимное расположение Земли, Солнца и Х в данный момент и ровно через местный год, то картины совпадут;
1. каждый раз, когда с Земли наблюдается противостояние планеты Х, с планеты Х наблюдается противостояние одной и той же планеты Солнечной Системы.

Насколько далеко от Солнца могла бы находиться планета Х? Орбиты всех планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Решение

Показать решение

Решение. Поскольку планета X может наблюдаться с Земли в противостоянии, то можно сделать однозначный вывод, что она внешняя (1 балл), причем планета Солнечной Системы, о которой идет речь во втором вопросе, внешняя по отношению к планете Х (1 балл). Таким образом, это может быть Марс, Юпитер, Сатурн, Уран или Нептун. Так как дальнейшие размышления будут для любой из этих планет аналогичными, будем называть ее планета СС и использовать индекс «с» в формулах.

Из условия можно сделать вывод, что орбита планеты Х может располагаться между орбитами Земли и планеты СС. Также планета Х не может вращаться вокруг Солнца в противоположную относительно планеты СС сторону, поскольку в таком случае не будет выполняться второе условие. Действительно, поскольку планета Х внешняя, то ее сидерический период больше сидерического периода Земли. Предположим, что в некоторый момент с Земли наблюдалось одновременно противостояние планет СС и Х. Тогда следующее противостояние X состоится не ранее, чем через полгода, и не позже чем через год, тогда как синодический период планеты СС больше года (2 балла).

Из первой части условия можно сделать вывод, что период обращения планеты Х (х) в некоторое целое число раз больше сидерического периода Земли (з). Поэтому (2 балла):

T_{\mathbf{x}} = nT_{\mathbf{3}}. (8)

Из второй части условия следует подобная связь между синодическими периодами систем «Земля —Планета Х» (зх) и «Планета Х — Планета СС» (хс) (2 балла):

S_{\rm 3x} = kS_{\rm xc},\tag{9}

где – целое положительное число. Запишем связь между синодическими и сидерическими периодами (3 балла):

\frac{1}{S_{3x}} = \frac{1}{T_3} - \frac{1}{T_x}; \quad \frac{1}{S_{xc}} = \frac{1}{T_x} - \frac{1}{T_c}. \tag{10}

Здесь ^с — сидерический период рассматриваемой планеты СС. Подставив ^х и зх из уравнений (8) и (9), получим

\frac{1}{kS_{xc}} = \frac{1}{T_3} - \frac{1}{nT_3}; \quad \frac{1}{S_{xc}} = \frac{1}{nT_3} - \frac{1}{T_c}. \tag{11}

Поделим второе уравнение на первое

\frac{kS_{\rm xc}}{S_{\rm xc}} = \frac{T_3 n T_3}{n T_3 - T_3} \cdot \frac{T_{\rm c} - n T_3}{T_{\rm c} n T_3} = \frac{T_3}{T_{\rm c}} \cdot \frac{\frac{T_{\rm c}}{T_3} - n}{n - 1}. \tag{12}

Период планеты СС в земных сидерических периодах обозначим как $P_{\rm c}$ . Тогда (3 балла)

k = \frac{P_{\rm c} - n}{P_{\rm c}(n-1)} \geqslant 1. \tag{13}

Отсюда

n \leqslant \frac{2P_{\rm c}}{P_{\rm c} + 1}.\tag{14}

При n=1 получаем $P_{\rm c}=1$ , то есть сидерический период планеты равен земному году, чего быть не может. При любом значении $P_{\rm c}>1$ значение дроби в правой части остается меньше 2, а значит, других целых решений этого неравенства не существует ни для одной из внешних по отношению к Земле планет Солнечной Системы.

Итак, мы получили противоречие. Автор романа ошибся: ученые создать такую планету не могли. Поэтому она не могла находиться ни на каком расстоянии от Земли (2 балла).

Критерии

Показать критерии

Kpı	итерии оценивания.	16
	После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в слу-
	чае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитыва-
	ется, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.
K1.	Определение положения планеты X в солнечной системе	2
	Х — внешняя для Земли
	Х — внутренняя для планеты Солнечной системы
	Данные утверждения не обязательно должны быть сделаны явно. Они могут быть понят-
	ны из логики решения.
K2 .	Исследование прямого движения	11
	Верная связь между $T_{\mathrm{x}}$ и $T_{\mathrm{3}}$
	Если вместо произвольного натурального $n$ рассмотрен только один вариант, оценка
	уменьшается на 1 балл.
	Верная связь между $S_{\rm 3x}$ и $S_{\rm xc}$
	Если вместо произвольного натурального $k$ рассмотрен только один вариант, оценка
	уменьшается на 1 балл.
	Верно записаны уравнения (10)
	Условие, из которого можно сделать вывод об отсутствии подходящих орбит3
	Вывод об отсутствии подходящих орбит для этого типа движения
K 3.	Рассмотрен вариант обратного движения Х и сделан правильный вывод	. 2
K4.	Окончательный ответ, что планета X не могла находиться в Солнечной системе	. 1
	Оценивается, только если верно рассмотрены и прямое, и обратное движения.

Подборка

9.3 Далекие перспективы

Решение

Критерии