В течение центрального покрытия Луна в своем движении относительно планеты должна пройти угловой путь, равный сумме видимых диаметров Луны и планеты, D+d. Длительность покрытия с частными фазами составит:

$$T = \frac{D+d}{\Omega - \omega}.$$

Здесь $\Omega$ и $\omega$ — угловые скорости движения Луны и планеты. В соответствии со II законом Кеплера в перигее и апогее орбиты угловая скорость Луны положительна и равна

$$\Omega_{\rm P,A} = \frac{360^{\rm o}}{T_{\rm L}} \sqrt{\frac{1 \pm e_{\rm L}}{(1 \mp e_{\rm L})^3}} \approx \frac{360^{\rm o}}{T_{\rm L}} (1 \pm e_{\rm L})^2.$$

Здесь $T_{\rm L}$ — период вращения Луны по орбите, $e_{\rm L}$ — эксцентриситет орбиты Луны. Видимый диаметр Луны D равен

$$D_{\rm P,A} = \frac{2R}{L(1 \mp e_{\rm L})},$$

где R — радиус Луны. Отсюда мы видим, что хотя в перигее видимый диаметр Луны больше, она будет быстрее проходить его по небу, и нам нужно рассматривать случай апогея Луны. Угловая скорость движения Луны в апогее равна $\Omega_{\rm A} = 11.82^{\circ}/{\rm сут}$ .

Угловая скорость движения планеты по небу $\omega$ положительна при прямом движении и отрицательна при попятном (вблизи противостояния внешних планет и нижнего соединения для внутренних).

Чтобы найти максимальную длительность явления, рассмотрим, как на нее влияют факторы угловых размеров и движения планет. Угловой размер планеты увеличивает длительность явления, но даже для планет с самыми большими видимыми размерами (около 60'' для Венеры и 50'' для Юпитера) относительный эффект (d/D) составляет порядка 0.03. Обратим внимание, что такие большие размеры Венеры и Юпитера соответствуют их попятному движению, когда величина $\omega$ отрицательна и длительность покрытия уменьшается.

Эффект движения планеты может повлиять на длительность в существенно большей степени. Очевидно, нас интересует момент максимальной угловой скорости ω, который наступает в верхнем соединении планеты (помехи от Солнца мы по условию задачи не учитываем). Максимальная угловая скорость планеты достигается в ее перигелии и составляет

$$\omega = \frac{v_{\rm P} + v_{\rm 0}}{r_{\rm P} + a_{\rm 0}} = \omega_{\rm 0} \frac{1 + \sqrt{a_{\rm 0}(1+e)/a(1-e)}}{1 + a(1-e)/a_{\rm 0}}.$$

Здесь v и $v_0$ – орбитальные скорости планеты и Земли, a и $a_0$ – радиусы их орбит, $\omega_0$ – угловая скорость движения Земли по орбите (0.986°/сут). Максимальная угловая скорость будет у Меркурия ( $a/a_0=0.387,\ e=0.206$ ): $\omega=2.28$ °/сут. Таким образом, этот фактор увеличивает длительность на ( $\omega/\Omega$ ) $\sim 19\%$ , что значительно больше эффекта от видимых размеров планеты. Угловой диаметр Луны для апогея равен 0.491°. В верхнем соединении угловой диаметр Меркурия составляет 5", что учитывать необязательно. Продолжительность покрытия составляет 1.24 часа.

Необходимо добавить, что в рамках условия задания такое покрытие произойдет в одной точке неба с Солнцем. Однако, продолжительность практически не изменится, если Луна и Меркурий чуть отступят на небе от Солнца, а фактор засветки по условию задания мы в расчет не принимаем. В реальности, Меркурий вблизи верхнего соединения имеет блеск до $-2^{\rm m}$ , есть примеры его обнаружения в телескоп в 3-5° от Солнца, так что покрытие, близкое к описанному, вполне может наблюдаться.

5. Система оценивания.

1 этап — 1 балл. Правильное выражение для длительности покрытия Луной планеты. Оно должно учитывать угловые скорости как Луны, так и планеты, а также их угловые размеры. Если в решении опускается фактор движения либо угловых размеров планеты — этап не засчитывается.

2 этап — 1 балл. Вывод о том, что основным фактором, влияющим на длительность покрытия, является угловая скорость планеты, а не ее угловой диаметр. Вывод может быть сделан в явном виде или на основе вычислений для разных планет с учетом обоих факторов.

3 этап — 2 балла. Указание планеты, покрытие которой будет наиболее длительным. Выставляется только при правильном ответе — Меркурий, во всех иных случаях этап не засчитывается.

4 этап — 2 балла. Указание правильной конфигурации планеты (верхнее соединение). Ответ «нижнее соединение» либо же просто «соединение», если речь идет о внутренней планете, правильным не является, оба балла не выставляются. Если участник считает, что планета внешняя (то есть, неправильно выполняет третий этап), то за четвертый этап ему выставляется 1 балл, если указывается конфигурация «соединение».

5 этап — 2 балла. Определение максимальной длительности покрытия, точность 0.1 часа. При ошибке до 0.2 часа за этап выставляется 1 балл.

Вероятная неточность при решении: неучет эллиптичности орбиты Луны либо же орбиты Меркурия, то есть фактически решение данной задачи в варианте, предложенном 9 классу (в ответе должно получиться 1.10 часа). В этом случае не засчитывается последний этап решения, остальные этапы оцениваются, исходя из их выполнения. Максимальная оценка в этом случае составляет 6 баллов.