• 1. Время, которое КА должен будет провести рядом с Венерой, прежде чем стартовать на Юпитер;
  • 2. Через какое время после старта с Земли КА окажется на Юпитере.

Все орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости $(A.A.\ Aвтаева)$ .

2. Решение. КА полетит по гомановской орбите, как по самой энергетически выгодной. Значит в момент прилета КА в перигелии этой орбиты должна оказаться Венера. Найдем время движения по орбите (половина орбитального периода) в годах:

$$t_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{a_{\rm E} + a_{\rm V}}{2} \right)^{3/2}.$$

Здесь $a_{\rm E}$ и $a_{\rm V}$ – радиусы орбит Земли и Венеры в астрономических единицах. Мы получаем, что перелет длится 0.399 лет. К его окончанию Венера оказалась на той же долготе, что Юпитер в момент старта. Сам же Юпитер за это время сместился по орбите на угол

$$\alpha_1 = 360^{\circ} \cdot t_1/T_J = 12.1^{\circ}$$

Здесь $T_{\rm J}$ – орбитальный период Юпитера. Найдем, сколько времени КА должен лететь до Юпитера:

$$t_3 = \frac{1}{2} \left( \frac{a_{\rm V} + a_{\rm J}}{2} \right)^{3/2}.$$

Мы получаем 2.550 лет. За это время Юпитер пройдет по своей орбите дугу $360^{\circ} \cdot t_3/T_J = 77.4^{\circ}$ . Таким образом, в момент старта с Венеры Юпитер должен опережать ее в движении по орбите на угол $\alpha_2 = 180^{\circ} - 77.4^{\circ} = 103.6^{\circ}$ .

22

С ходом времени разница гелиоцентрических долгот Юпитера и Венеры уменьшается, завершая полный круг за один синодический период Юпитера на Венере, равный

$$S = \frac{T_{\rm v}T_{\rm J}}{T_{\rm I} - T_{\rm v}} = 0.648$$ лет .

С момента прибытия на Венеру до отправления с нее должно пройти время

$$t_2 = S \frac{N \cdot 360^{\circ} + (\alpha_1 - \alpha_2)}{360^{\circ}}.$$

Здесь N — натуральное число. По условию задачи, промежуток $t_2$ должен быть не меньше 2 земных лет. Мы видим, что минимальное число N, удовлетворяющее этому условию, равно 4 (аппарат проведет на Венере неполных 4 синодических периодов Юпитера), и тогда величина $t_2$ равна 2.427 лет. Полное время миссии есть

$$T = t_1 + t_2 + t_3 = 5.376$$ года.

2. Система оценивания.

1 этап — 2 балла. Расчет времени перелета с Земли к Венере (1 балл) и угла поворота Юпитера по орбите за это время (1 балл). Здесь и далее — точность угловых оценок — $1^{\circ}$ , точность временных оценок — 0.01 года.

2 этап — 4 балла. Расчет разности долгот Юпитера и Венеры в момент старта корабля к Юпитеру (2 балла) и времени нахождения аппарата на Венере (2 балла).

3 этап – 1 балл. Расчет времени перелета от Венеры к Юпитеру.

4 этап – 1 балл. Окончательное вычисление полной продолжительности миссии.

Полное время миссии есть $T = t_1 + t_2 + t_3 = 5.376$ года.