• 1. Найдите показания градусника в шкале Цельсия.
  • 2. Определите расстояние между звездой и планетой, если эффективная температура звезды 2800 K, а радиус звезды составляет 0.20 радиусов Солнца.

Поглощением и рассеянием энергии излучения в атмосфере планеты пренебречь, расстояние приведите в астрономических единицах $(A.A.\ Aвтаева)$ .

3. Решение. Заметим, что в этой системе движение синхронное, а экватор лежит в плоскости орбиты, следовательно, планета всегда повернута к звезде одной стороной, и поток звездного излучения в каждой ее точке постоянный. Тепловая энергия, вырабатываемая прибором, определяется излучением абсолютно черного тела. Так как показания термометра не меняются, ситуация стационарна, и вся энергия, собранная прибором, то есть ровно половина излучаемой шаром энергии, уходит в почву. Используя закон Стефана-Больцмана, определяем температуру:

$$T = 4\sqrt{\frac{2P}{\sigma\pi d^2}} = 315 \text{ K}.$$

Здесь P — мощность, отдаваемая в почву, $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана, d — диаметр шара. Переводя температуру в шкалу Цельсия, получаем $+42^{\circ}$ C.

Определим теперь плотность потока излучения звезды. Уравнение теплового баланса для шара выглядит следующим образом:

$$\sigma T^4 \cdot \pi d^2 = \frac{\sigma T_0^4 \cdot 4\pi R_0^2}{4\pi a^2} \cdot \frac{\pi d^2}{4}.$$

Здесь $R_0$ и $T_0$ – радиус и температура звезды, a – расстояние от звезды до планеты. Упрощая это уравнение, получаем

$$T^4 = \frac{T_0^4 \cdot R_0^2}{4a^2}.$$

Из этого мы получаем ответ:

$$a = \frac{R_0}{2} \cdot \frac{T_0^2}{T^2} = 0.037$$ a.e.

3. Система оценивания.

$\underline{\text{Этап 1} - 1 \text{ балл.}}$ Вывод о том, что планета всегда повернута к звезде одной стороной, и поток звездного излучения постоянный.

Этап 2 — 1 балл. Вывод о том, что тепловая энергия, вырабатываемая прибором, равна излучению абсолютно черного тела и применим закон Стефана-Больцмана (может быть сделано неявно, просто применением этой формулы) — 1 балл

$\underline{\text{Этап 3}-2}$ балла. Определение температуры шара (1 балл) и ее перевод в шкалу Цельсия (1 балл), точность 2 градуса.

Этап 4 – 2 балла. Правильное уравнение теплового баланса для шара.

Этап 5 – 2 балла. Определение расстояния до звезды, точность 0.02 а.е.

Возможные ошибки:

• 1. Ошибки в переводе единиц, за неправильные ответы ставится 0 баллов, правильные формулы оцениваются.
• 2. Перепутаны диаметр и радиус шара. Это влияет на выполнение этапов 3 и 4, оценка за каждый из которых уменьшается на 1 балл.

$$a = \frac{R_0}{2} \cdot \frac{T_0^2}{T^2} = 0.037$$ a.e.