Хорошо известно, что объекты Мессье, а туманность Кольцо — это объект этого каталога под номером 57, сравнительно яркие, 6–9 звездной величины. Можно вспомнить, что звездная величина M 57 примерно равна 9 m. Однако, эта яркость распределена по довольно большой площади фотографии и напрямую сравнивать звезды с туманностью не получится. Разве что мы получили некоторый ориентир: самые тусклые звезды точно не могут быть ярче 9 m.

Размеры туманности на фотографии равны примерно 38 × 56 мм. Отношение этих величин примерно соответствует отношению данных в условии угловых размеров туманности, т. е. масштаб фотографии в обоих направлениях одинаковый составляет 0.26′/см. Тогда наш кадр занимает на небе площадку 5.4 ′ × 4.1 ′ = 0.0062 квадратных градусов. Всего на небе 41250 квадратных градусов, то есть на кадре нам видна 1.5 × 10−7 часть неба.

Всего на небе видно около 6000 звезд шестой звездной величины и ярче. На одну такую звезду

приходится более тысячи площадок подобных нашей, поэтому вероятнее всего, что ни одна звезда 6 m и ярче не попала на нашу площадку.

Попробуем оценить, на сколько больше звезд 7 m и ярче можно увидеть на небе. Сначала предположим, что все звезды одинаковые и распределены в пространстве равномерно. В отсутствие поглощения мы можем их видеть до некоторого расстояния , с которого они видны как звезды 6 m. На одну звездную величину слабее они будут видны с расстояния + ∆ такого, что

$$\frac{r + \Delta r}{r} = 10^{0.2} \approx \sqrt{2.515}.$$

Число видимых звезд пропорционально объему сферы, в котором они расположены. Тогда

$$\frac{N(\leqslant 7)}{N(\leqslant 6)} = \left(\frac{r + \Delta r}{r}\right)^3 = 10^{0.6} \approx 3.98 \approx 4.$$

Если мы окружены звездами двух типов, то видимые до определенной звездной величины они заполняют разные сферические объемы, но изменению на одну звездну величину соответствуют аналогичные увеличения объемов и численности звезд. Точно такие же рассуждения можно проделать для любого числа различных наборов звезд, а значит, выведенная закономерность справедлива для всей совокупности звезд. Также заметим, что мы нигде не использовали конкретные звездные величины, то есть это правило универсально: звезд ярче величины +1 больше, чем в 4 раза. Это утверждение называют теоремой Зеелигера.

Отсюда делаем вывод, что звезд 7 m и ярче 24 000, то есть на каждую приходится 278 площадок. Следовательно, ожидаемое число таких звезд на фотографии тоже 0.

При этом мы можем найти 40-50 звезд. Это значит, что всего для наблюдения с такой проницающей способностью на небе около = 3 × 108 .

Пусть = 6000 — это число звезд ярче 6 m. Тогда = 4. Тогда

$$4^x = \frac{N_t}{N}$$ $\Rightarrow$ $x = \log_4 \frac{N_t}{N} = \frac{\lg \frac{N_t}{N}}{\lg 4} \approx 7.8.$

Вычисления с логарифмами здесь можно упростить, помня, откуда берется четверка:

$$4^x = 10^{0.6x} = \frac{N_t}{N} \implies x = \frac{\lg \frac{N_t}{N}}{0.6} \approx 7.8.$$

Значит на фотографии видны звезды до 13.8 m.

В действительности межзвзездное поглощение приводит к тому, что мы видим меньше звезд, отчего с увеличением на звездную величину видим не в 4 раза больше звезд, а примерно в 2. Поэтому наша оценка получилась заниженной.