Сначала ответим на первый вопрос задачи и определим расстояние до шарового скопления. Запишем формулу углового размера:

$$\rho'' = \frac{206265 \cdot D}{r}$$ или $\rho$ (радиан) $= \frac{D}{r}$

Здесь стоит обратить внимание, что угловой размер – это видимый угловой диаметр объекта. – это искомое расстояние до объекта.

Выразим зависимость от расстояния и подставим значения:

$$r = \frac{206265 \cdot D}{\rho''} = \frac{206265 \cdot 20 \text{ пк}}{(20 \cdot 60)''} = 3440 \text{ пк}$$

Расстояние 3440 пк (или 3.4 кпк) меньше, чем радиус Галактики Млечный Путь (около 15 кпк) и радиус звездного гало нашей Галактики (до 30 кпк). Поэтому данное скопление относится к нашей Галактике.

Перейдем ко второму вопросу задачи. Скопление состоит из двух подсистем. Сначала определим звездную величину каждой из подсистем, а потом вычислим звездную величину всего скопления.

Сначала рассмотрим подсистему красных гигантов. Известна абсолютная звездная величина каждой звезды и число таких звезд 1 = 80. Для определения суммарной звездной величины нужно складывать не сами звездные величины, а создаваемые звездами освещенности. Воспользуемся законом Погсона для абсолютных звездных величин и светимостей звезд:

$$M_1 - M_{RG} = -2.5 \lg \frac{E_{\sum}}{E_{RG}} = -2.5 \lg(N_1)$$

Подставив известные значения, получим абсолютную звездную величину подсистемы красных гигантов:

$$M_1 = M_{RG} - 2.5 \lg 80 = -3 - 2.5 \lg 80 = -9.5^m = -7.76^m$$

Видимую звездную величину получим, используя зависимость между видимой и абсолютной звездной величинами. Так как межзвездного поглощения нет, то она выглядит следующим образом

$$M - m = 5 - 5\lg(r)$$

$$m_1 = M_1 - 5 + 5 \lg(r) = -7.76 - 5 + 5 \lg(3440) = 4.92^m$$

Теперь рассмотрим подсистему обычных звезд. Каждая звезда имеет светимость $0.5~L_{\odot}$ . Полная светимость $L_1$ такой подсистемы, состоящей из $N_2$ одинаковых звезд, будет равна

$$L_2 = N \cdot 0.5 \ L_{\odot} = 10^5 \cdot 0.5 \ L_{\odot} = 5 \cdot 10^4 \ L_{\odot}$$

Далее видимую звездную величину можно получить двумя способами: через абсолютную звездную величину или через определение освещенности. Оба варианта равноправны. Покажем их оба.

(1) Выразим абсолютную звездную величину Солнца. Для этого запишем формулу Погсона для абсолютных звездных величин. В этом случае отношение освещенностей E будет равно отношению светимостей L, так как в определении абсолютных звездных величин мы считаем, что расстояние до объектов одинаковое (10 пк).

$$M_2 - M_{\odot} = -2.5 \lg \frac{L_2}{L_{\odot}}$$

Из справочных данных возьмем абсолютную звездную величину Солнца $M_{\odot} = 4.79^{m}$ .

$$M_2 = 4.79^m - 2.5 \lg(5 \cdot 10^4) = -6.96^m$$

Для перехода между видимой и абсолютной звездными величинами воспользуемся формулой

$$M - m = 5 - 5\lg(r)$$

$$m_2 = M_2 - 5 + 5 \lg(r) = -6.96^m - 5 + 5 \lg(3440) = 5.72^m$$

(2) Рассмотрим второй вариант решения этого пункта. Освещенность объекта связана с его светимостью, как $E=L/4\pi r^2$ . Следовательно можно определить освещеность объекта, а при использовании формулы Погсона сравнить освещенность объекта с освещенностью от известного нам объекта, например, Солнца.

$$m_2 - m_{\odot} = -2.5 \lg \frac{E_1}{E_{\odot}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 E_{\odot}}$$

В принципе, уже при такой записи все величины под логарифмом являются или табличными значениями или известными по ходу решения задачи. В справочных данных можно взять видимую звездную величину Солнца, светимость Солнца и солнечную постоянную $E_{\odot}$ . Если же участнику сразу не очевидно, чему равна освещенность Солнца на удалении 1 а.е, ее можно выразить через светимость Солнца:

$$m_2 - m_{\odot} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 E_{\odot}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 \frac{L_{\odot}}{4\pi a_{\oplus}^2}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot a_{\oplus}^2}{r^2}$$

Такая запись позволит уменьшить вероятность арифметических ошибок, а при подстановке численных значений ее можно еще упростить:

$$m_2 = m_{\odot} - 2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot (1/206265 \text{ nK})^2}{(3440 \text{ nK})^2} = m_{\odot} - 2.5 \log \frac{5 \cdot 10^4}{206265^2 \cdot 3440^2} = -26.8^m + 32.51^m = 5.71^m$$

Теперь перейдем к определению видимой звездной величины всего скопления. У нас есть две подсистемы звезд, имеющие видимые звездные величины $m_1$ и $m_2$ . Суммарную звездную величину будем определять, складывая освещенности, а не звездные величины.

$$E_{\Sigma} = E_1 + E_2$$

Запишем формулу Погсона:

$$m_{\sum} - m_2 = -2.5 \lg \frac{E_{\sum}}{E_2} = -2.5 \lg \frac{E_1 + E_2}{E_2} = -2.5 \lg (1 + \frac{E_1}{E_2})$$

Отношение освещенностей $E_1/E_2$ можно выразить через формулу Погсона и звездные величины $m_1$ и $m_2$ , которые уже известны.

$$m_{\sum} - m_2 = -2.5 \lg(1 + 10^{-0.4(m_1 - m_2)})$$

Подставляем значения:

$$m_{\sum} = 5.72^m - 2.5 \lg(1 + 10^{-0.4(4.92 - 5.72)}) = 5.72^m - 2.5 \lg(1 + 2.089) = 5.72^m - 1.22^m = 4.50^m$$

Обратим внимание, что при записи формулы Погсона можно сравнивать с любой из звездных величин $(m_1; m_2)$ . Но, как правило, удобнее использовать более тусклый объект.

$4.50^m$