Апексом называется точка, в которой сходятся направления движения всех звезд скопления. Таким образом, само наличие разных апексов у двух групп звезд говорит о том, что мы наблюдаем в одном направлении два разных скопления.

Обозначим на рисунке A — апекс скопления, S — Солнце, C — скопление. Угол ∠ = — угловое расстояние между скоплением и его апексом. Полная скорость скопления должна быть направлена параллельно оси SA. По мере удаления скопления от Солнца угол будет уменьшаться, а прямая SC все больше приближаться к SA. Поскольку вектор лучевой (радиальной) скорости r лежит на прямой SC, угол между r и также равен . Тогда лучевую и тангенциальную t компоненты скорости можно выразить в виде:

$$V_{\rm r} = V \cos \alpha, \quad V_{\rm t} = V \sin \alpha.$$

Обозначим индексом 1 все величины, относящиеся к скоплению с апексом 40∘ , индексом 2 к скоплению с апексом 60∘ . По условию r1 = r2. Тогда

$$V_1 \cos \alpha_1 = V_2 \cos \alpha_2,$$

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\cos \alpha_1}{\cos \alpha_2} = \frac{\cos 40^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} \approx 1.53.$$

Тангенциальная скорость может быть выражена через собственное движение и расстояние как

$$V_{\rm t} = 4.74 \mu D.$$

В этой формуле при подстановке в угловых секундах в год, а в парсеках ответ получается в километрах в секунду. Выразим из этого уравнения :

$$D = \frac{V_{\rm t}}{4.74\mu} = \frac{V \sin \alpha}{4.74\mu} = \frac{\frac{V_{\rm r}}{\cos \alpha} \sin \alpha}{4.74\mu} = \frac{V_{\rm r} \operatorname{tg} \alpha}{4.74\mu}.$$

Так как r и одинаковы для обеих групп:

$$\frac{D_2}{D_1} = \frac{\text{tg } \alpha_2}{\text{tg } \alpha_1} = \frac{\text{tg } 60^{\circ}}{\text{tg } 40^{\circ}} \approx 2.06.$$

• Пространственные скорости отличаются в 1.53 раза: вторая группа быстрее.
• Расстояния отличаются в 2.06 раза: вторая группа дальше.